方企勤 第二章 一元函数微分学 第11题

教材习题

📝 题目

例 11 (1) 设 $f\left( x\right)$ 是在 $\mathbf{R}$ 上的凹函数,求证: 对 $\forall {x}_{1},{x}_{2},\cdots$ , ${x}_{n} \in \mathbf{R}$ ,有

$$ \frac{f\left( {x}_{1}\right) + f\left( {x}_{2}\right) + \cdots + f\left( {x}_{n}\right) }{n} \geq f\left( \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}{n}\right) , $$

(6.16)

等号当且仅当 ${x}_{1} = {x}_{2} = \cdots = {x}_{n}$ 时成立.

(2)求证:当 ${x}_{k} > 0\left( {k = 1,2,\cdots }\right)$ 时,有

$$ \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{{x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}}. $$

💡 答案解析

证(1)记 ${x}_{0} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}{n}$ . 因为 $f\left( x\right)$ 是凹函数,所以

$$ f\left( {x}_{i}\right) \geq f\left( {x}_{0}\right) + {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \left( {{x}_{i} - {x}_{0}}\right) \;\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right) , $$

此处 ${}^{a} =$ ”当且仅当 ${x}_{i} = {x}_{0}$ 时成立. 对上面 $n$ 个等式求和,即得

$$ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {x}_{i}\right) \geq {nf}\left( {x}_{0}\right) + {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i} - n{x}_{0}}\right) = {nf}\left( {x}_{0}\right) , $$

即 (6.16)式得证.

(2)对 $f\left( x\right) = - \ln x$ 利用第 (1) 小题结果即得结论.

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明凹函数的Jensen不等式
记 x0 = (x1 + x2 + ... + xn)/n。由于f是凹函数，对每个xi有f(xi) ≥ f(x0) + f'(x0)(xi - x0)，等号当且仅当xi = x0时成立。对i=1到n求和，得到∑f(xi) ≥ n f(x0) + f'(x0)(∑xi - n x0) = n f(x0)，即(6.16)式成立。
公式：f(x_i) ≥ f(x_0) + f'(x_0)(x_i - x_0)
提示：凹函数的定义：f(λx+(1-λ)y) ≥ λf(x)+(1-λ)f(y)；这里用到了可微凹函数的切线性质。
步骤 2/2
目标：证明均值不等式
取f(x) = -ln x，它是凹函数（因为二阶导数为1/x^2 > 0，但注意凹函数定义：-ln x的二阶导数为-1/x^2 < 0，所以是凹函数）。应用第(1)小题结果：(-ln x1 - ln x2 - ... - ln xn)/n ≥ -ln((x1+x2+...+xn)/n)，即ln( (x1+x2+...+xn)/n ) ≥ (ln x1 + ln x2 + ... + ln xn)/n = ln( (x1 x2 ... xn)^(1/n) )。由于ln是单调递增函数，两边取指数即得均值不等式。
公式：f(x) = -ln x, 凹函数性质
提示：注意凹函数不等号方向：f(平均值) ≥ 平均值f，这里f(x)=-ln x，所以得到算术平均≥几何平均。

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