方企勤 第二章 一元函数微分学 第20题

教材习题

📝 题目

例 20 设 $P\left( x\right) = {x}^{6} - 2{x}^{2} - x + 3$ .

(1)分别把 $P\left( x\right)$ 表示成(x - 1)幂与 $\left( {x + 1}\right)$ 幂的多项式；

(2)求证: $P\left( x\right) = 0$ 在 $\left| x\right| \geq 1$ 上无实根；

(3) 求证: $P\left( x\right) = 0$ 无实根.

💡 答案解析

解(1)对 $P\left( x\right)$ 求各阶导数得

$$ {P}^{\prime }\left( x\right) = 6{x}^{5} - {4x} - 1,\;{P}^{\prime \prime }\left( x\right) = {30}{x}^{4} - 4, $$

$$ {P}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) = {120}{x}^{3},\;{P}^{\left( 4\right) }\left( x\right) = {360}{x}^{2}, $$

$$ {P}^{\left( 5\right) }\left( x\right) = {720x},\;{P}^{\left( 6\right) }\left( x\right) = {720}. $$

由此推出

$$ P\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{6}\frac{{P}^{\left( k\right) }\left( 1\right) }{k!}{\left( x - 1\right) }^{k} $$

$$ = 1 + \left( {x - 1}\right) + {13}{\left( x - 1\right) }^{2} + {20}{\left( x - 1\right) }^{3} $$

$$ + {15}{\left( x - 1\right) }^{4} + 6{\left( x - 1\right) }^{5} + {\left( x - 1\right) }^{6}\text{ ; } \tag{6.22} $$

$$ P\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{6}\frac{{P}^{\left( k\right) }\left( {-1}\right) }{k!}{\left( x + 1\right) }^{k} $$

$$ = 3 - 3\left( {x + 1}\right) + {13}{\left( x + 1\right) }^{2} - {20}{\left( x + 1\right) }^{3} $$

$$ + {15}{\left( x + 1\right) }^{4} - 6{\left( x + 1\right) }^{5} + {\left( x + 1\right) }^{6}. \tag{6.23} $$

(2)利用第 (1) 小题的结果, 有

$\left. \begin{array}{l} \left( {6.22}\right) 式 \Rightarrow P\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{6}\frac{{P}^{\left( k\right) }\left( 1\right) }{k!}{\left( x - 1\right) }^{k} > 0\left( {\forall x \geq 1}\right) \\ \left( {6.23}\right) 式 \Rightarrow P\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{6}\frac{{P}^{\left( k\right) }\left( {-1}\right) }{k!}{\left( x + 1\right) }^{k} > 0\left( {\forall x \leq - 1}\right) \end{array}\right\}$

$$ \Rightarrow P\left( x\right) > 0\;\left( {\left| x\right| \geq 1}\right) , $$

所以在 $\left| x\right| \geq 1$ 上 $P\left( x\right) = 0$ 无实根.

(3)利用第 (2) 小题结果,只需再证 $P\left( x\right)$ 在(-1,1)上无实根. 将 $P\left( x\right) = 0$ 改写成

$$ {x}^{6} = 2{x}^{2} + x - 3 \tag{6.24} $$

而 $2{x}^{2} + x - 3 = \left( {x - 1}\right) \left( {{2x} + 3}\right)$ ,其图形如图 2.14 所示. 在(-1,1) 上,(6.24)式左边 $\geq 0$ ,右边 $< 0$ ,所以方程 (6.24) 在(-1,1)上无实根,即 $P\left( x\right) = 0$ 在(-1,1)上无实根.

\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/021.jpg} \end{center} \hspace*{3em}

图 2.14

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将P(x)表示为(x-1)的幂的多项式
计算P(x)在x=1处的各阶导数：P(1)=1, P'(1)=1, P''(1)=26, P'''(1)=120, P^(4)(1)=360, P^(5)(1)=720, P^(6)(1)=720。代入泰勒展开公式P(x)=∑_{k=0}^6 P^(k)(1)/k! (x-1)^k，得到P(x)=1+(x-1)+13(x-1)^2+20(x-1)^3+15(x-1)^4+6(x-1)^5+(x-1)^6。
公式：P(x) = ∑_{k=0}^6 P^(k)(1)/k! (x-1)^k
提示：计算导数时注意多项式求导法则，代入x=1时注意符号。
步骤 2/4
目标：将P(x)表示为(x+1)的幂的多项式
计算P(x)在x=-1处的各阶导数：P(-1)=3, P'(-1)=-3, P''(-1)=26, P'''(-1)=-120, P^(4)(-1)=360, P^(5)(-1)=-720, P^(6)(-1)=720。代入泰勒展开公式P(x)=∑_{k=0}^6 P^(k)(-1)/k! (x+1)^k，得到P(x)=3-3(x+1)+13(x+1)^2-20(x+1)^3+15(x+1)^4-6(x+1)^5+(x+1)^6。
公式：P(x) = ∑_{k=0}^6 P^(k)(-1)/k! (x+1)^k
提示：注意负数的幂次，奇数次导数在x=-1处为负。
步骤 3/4
目标：证明P(x)=0在|x|≥1上无实根
由(1)中的展开式，当x≥1时，(x-1)^k≥0，且所有系数为正，故P(x)>0；当x≤-1时，令t=x+1≤0，则(x+1)^k的符号取决于k的奇偶，但展开式中各项系数正负交替，且绝对值递减，经检验P(x)>0。因此对|x|≥1，P(x)>0，无实根。
公式：P(x) = ∑_{k=0}^6 a_k (x-1)^k 或 ∑_{k=0}^6 b_k (x+1)^k
提示：注意x≥1时所有项非负；x≤-1时需验证各项和为正。
步骤 4/4
目标：证明P(x)=0在(-1,1)上无实根
将方程改写为x^6=2x^2+x-3。在(-1,1)上，左边x^6≥0，右边2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)。由于x-1<0，2x+3>0（因为x>-1.5），所以右边<0。因此左边≥0>右边，方程无解。
公式：x^6 = 2x^2 + x - 3
提示：注意右边在(-1,1)上恒负，左边非负，故无实根。

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