方企勤 第二章 一元函数微分学 第21题
📝 题目
例 21 已知 $P\left( x\right)$ 是 $n \geq 1$ 次函数:
$$ P\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0}, $$
且 $P\left( a\right) \geq 0,{P}^{\prime }\left( a\right) \geq 0,\cdots ,{P}^{\left( n\right) }\left( a\right) \geq 0$ . 求证: $P\left( x\right)$ 没有大于 $a$ 的根.
💡 答案解析
证 因为当 $m > n$ 时, ${P}^{m}\left( x\right) \equiv 0$ ,所以根据泰勒公式,有
$$ P\left( x\right) = P\left( a\right) + {P}^{\prime }\left( a\right) \left( {x - a}\right) + \cdots + \frac{{P}^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!}{\left( x - a\right) }^{n}. $$
又因为 $n \geq 1$ ,所以 $P\left( x\right)$ 不是恒等于零的函数. 因此 $P\left( a\right) ,{P}^{\prime }\left( a\right)$ , $\cdots ,{P}^{\left( n\right) }\left( a\right)$ 不全为零. 于是至少存在某一 $k,1 \leq k \leq n$ ,使得 ${P}^{\left( k\right) }\left( a\right) >$ 0. 此时,只要 $x > a$ ,便有 $P\left( x\right) \geq \frac{{P}^{\left( k\right) }\left( a\right) }{k!}{\left( x - a\right) }^{k} > 0$ . 这意味着 $P\left( x\right)$ 不存在大于 $a$ 的根.
\subsubsection{三、零点或中值极限问题}