方企勤 第三章 一元函数积分学 第17题
📝 题目
例 17 求 $\displaystyle \int {\mathrm{e}}^{2x}{\left( \tan x + 1\right) }^{2}\mathrm{\;d}x$ .
💡 答案解析
解
$$ \int {\mathrm{e}}^{2x}{\left( \tan x + 1\right) }^{2}\mathrm{\;d}x = \int {\mathrm{e}}^{2x}\left( {{\sec }^{2}x + 2\tan x}\right) \mathrm{d}x $$
$$ = \int {\mathrm{e}}^{2x}{\sec }^{2}x\mathrm{\;d}x + 2\int {\mathrm{e}}^{2x}\tan x\mathrm{\;d}x, $$
对第一项进行分部积分, 我们有
$$ \int {\mathrm{e}}^{2x}{\sec }^{2}x\mathrm{\;d}x = \int {\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{\;d}\tan x = {\mathrm{e}}^{2x}\tan x - 2\int {\mathrm{e}}^{2x}\tan x\mathrm{\;d}x. $$
$$ \text{ 原式 } = {\mathrm{e}}^{2x}\tan x - 2\int {\mathrm{e}}^{2x}\tan x\mathrm{\;d}x + 2\int {\mathrm{e}}^{2x}\tan x\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\mathrm{e}}^{2x}\tan x + C. \tag{1. 12} $$
评注 (1.12)式右端有两项不定积分完全一样,只是符号相反. 值得注意的是, 它们相抵消的结果应是一个任意的常数, 而不是零. 事实上, 因为
$$ {\left\{ \int f\left( x\right) \mathrm{d}x-\int f\left( x\right) \mathrm{d}x\right\} }^{\prime } = f\left( x\right) - f\left( x\right) = 0, $$
所以
$$ \int f\left( x\right) \mathrm{d}x - \int f\left( x\right) \mathrm{d}x = C. $$
五、综合应用