方企勤 第三章 一元函数积分学 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 设 $f\left( x\right)$ 是可积的且以 $T$ 为周期的周期函数. 求证:

$$ {\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{a + T}f\left( x\right) \mathrm{d}x\;\left( {\forall a \in \mathbf{R}}\right) . $$

💡 答案解析

证 由题设条件得

$$ {\int }_{a}^{a + T}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{0}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{T}^{a + T}f\left( x\right) \mathrm{d}x $$

$$ = - {\int }_{0}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{0}^{a}f\left( {x + T}\right) \mathrm{d}x $$

$$ = {\int }_{0}^{a}\left( {f\left( {x + T}\right) - f\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x + {\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x $$

$$ = {\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x $$

提问 本题如下证法对吗?

$F\left( a\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }{\int }_{a}^{a + T}f\left( x\right) \mathrm{d}x$ ,则

$$ {F}^{\prime }\left( a\right) = {\left\{ {\int }_{0}^{a + T}f\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{0}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x\right\} }^{\prime } $$

$$ = f\left( {a + T}\right) - f\left( a\right) \equiv 0, $$

因此 $F\left( a\right) \equiv C$ (常数). 又 $F\left( 0\right) = {\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x$ ,所以

$$ {\int }_{a}^{a + T}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( a\right) \equiv C = {\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

解答 这证明是错误的. 错误的原因在于: 本题条件只假定函数 $f\left( x\right)$ 是可积的,这未必能保证变上限积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x$ 对 $a$ 可导.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将积分区间拆分为三段
将积分 ∫_a^{a+T} f(x) dx 拆分为 ∫_a^0 f(x) dx + ∫_0^T f(x) dx + ∫_T^{a+T} f(x) dx。
公式：∫_a^{a+T} f(x) dx = ∫_a^0 f(x) dx + ∫_0^T f(x) dx + ∫_T^{a+T} f(x) dx
提示：利用积分区间的可加性，将任意区间拆分为标准区间 [0,T] 和两个小段。
步骤 2/4
目标：变换积分上下限
将 ∫_a^0 f(x) dx 变为 -∫_0^a f(x) dx；对 ∫_T^{a+T} f(x) dx 做变量代换 u = x - T，得到 ∫_0^a f(u+T) du。
公式：∫_a^0 f(x) dx = -∫_0^a f(x) dx; ∫_T^{a+T} f(x) dx = ∫_0^a f(x+T) dx
提示：注意积分限变换时符号变化，以及周期性 f(x+T)=f(x) 尚未使用。
步骤 3/4
目标：合并积分并利用周期性
将变换后的表达式代入，得到 -∫_0^a f(x) dx + ∫_0^T f(x) dx + ∫_0^a f(x+T) dx = ∫_0^a [f(x+T)-f(x)] dx + ∫_0^T f(x) dx。由于 f 以 T 为周期，f(x+T)=f(x)，故第一项为 0。
公式：∫_0^a [f(x+T)-f(x)] dx = 0
提示：周期性是本题的关键，确保正确应用。
步骤 4/4
目标：得出结果
因此 ∫_a^{a+T} f(x) dx = ∫_0^T f(x) dx。
公式：∫_a^{a+T} f(x) dx = ∫_0^T f(x) dx
提示：结论与 a 无关，即周期函数在任何长度为 T 的区间上的积分相等。

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