方企勤 第三章 一元函数积分学 第4题
📝 题目
例 4 若 $f\left( x\right)$ 是连续的且以 $T$ 为周期的周期函数,求证: $f\left( x\right)$ 的任一原函数是以 $T$ 为周期的周期函数与线性函数之和.
思路 只要证明 $\displaystyle{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = \varphi \left( x\right) + {kx}$ ,其中 $\varphi \left( x\right)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数, $k$ 是待定常数. 由 $\varphi \left( T\right) = \varphi \left( 0\right) = 0$ ,容易确定
$$ k = \frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t $$
💡 答案解析
证 作辅助函数 $\varphi \left( x\right) = {\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t - \frac{x}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t$ ,则有
$$ \varphi \left( {x + T}\right) - \varphi \left( x\right) = {\int }_{x}^{x + T}f\left( t\right) \mathrm{d}t - {\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t. $$
再由
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，考虑函数 φ(x) = F(x) - kx，其中 k 为待定常数。由周期函数的性质，我们希望 φ(x) 以 T 为周期。
公式：φ(x) = F(x) - kx
提示：辅助函数的形式是关键，通过减去线性项来消除非周期部分。
步骤 2/4
目标：确定常数 k
由 φ(x+T) = φ(x) 得 F(x+T) - k(x+T) = F(x) - kx，即 F(x+T) - F(x) = kT。另一方面，由牛顿-莱布尼茨公式，F(x+T) - F(x) = ∫_x^{x+T} f(t) dt。由于 f 以 T 为周期，∫_x^{x+T} f(t) dt = ∫_0^T f(t) dt。因此 kT = ∫_0^T f(t) dt，即 k = (1/T) ∫_0^T f(t) dt。
公式：k = (1/T) ∫_0^T f(t) dt
提示：利用周期函数的积分性质，区间长度等于周期的积分与起点无关。
步骤 3/4
目标：验证 φ(x) 的周期性
取 k 如上，则 φ(x+T) - φ(x) = [F(x+T) - k(x+T)] - [F(x) - kx] = [F(x+T) - F(x)] - kT = ∫_x^{x+T} f(t) dt - ∫_0^T f(t) dt = 0，所以 φ(x+T) = φ(x)，即 φ(x) 是以 T 为周期的周期函数。
公式：φ(x+T) = φ(x)
提示：直接计算差值并利用 k 的定义即可证明。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，f(x) 的任一原函数 F(x) 可表示为 F(x) = φ(x) + kx，其中 φ(x) 是以 T 为周期的周期函数，k = (1/T) ∫_0^T f(t) dt 是常数。
公式：F(x) = φ(x) + kx
提示：原函数与周期函数相差一个线性函数。
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