方企勤 第三章 一元函数积分学 第11题

教材习题

📝 题目

例 11 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续可导,且 $f\left( 0\right) = 0,f\left( 1\right) = 1$ ,求证:

$$ {\int }_{0}^{1}\left| {f\left( x\right) - {f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-1}. \tag{3.14} $$

💡 答案解析

证 设 $v\left( x\right)$ 满足

$$ {v}^{\prime }\left( x\right) = - v\left( x\right) ,\;v\left( x\right) > 0\;\left( {x \in \left( {0,1}\right) }\right) . \tag{3. 15} $$

显然 $v\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }{\mathrm{e}}^{-x}$ 满足 (3.15) 式. 于是

$$ \left| {f\left( x\right) - {f}^{\prime }\left( x\right) }\right| = \frac{\left| v\left( x\right) f\left( x\right) - v\left( x\right) {f}^{\prime }\left( x\right) \right| }{v\left( x\right) } $$

$$ = \frac{\left| {\left( v\left( x\right) f\left( x\right) \right) }^{\prime }\right| }{v\left( x\right) } = {\mathrm{e}}^{x}\left| {\left( {\mathrm{e}}^{-x}f\left( x\right) \right) }^{\prime }\right| $$

$$ \geq \left| {\left( {\mathrm{e}}^{-x}f\left( x\right) \right) }^{\prime }\right| \geq {\left( {\mathrm{e}}^{-x}f\left( x\right) \right) }^{\prime } $$

$$ \left( {\forall x \in \left( {0,1}\right) }\right) \text{ . } $$

所以

$$ {\int }_{0}^{1}\left| {f\left( x\right) - {f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x \geq {\int }_{0}^{1}{\left( {\mathrm{e}}^{-x}f\left( x\right) \right) }^{\prime }\mathrm{d}x = {\left. {\mathrm{e}}^{-x}f\left( x\right) \right| }_{0}^{1} = {\mathrm{e}}^{-1}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：引入辅助函数 v(x)=e^{-x}，满足微分方程 v'(x) = -v(x) 且 v(x)>0。
设 v(x) 满足 v'(x) = -v(x), v(x) > 0 (x∈(0,1))，显然 v(x)=e^{-x} 满足条件。
公式：v'(x) = -v(x), v(x)=e^{-x}
提示：辅助函数的选择是关键，通常根据微分方程的形式来构造。
步骤 2/4
目标：将被积函数 |f(x)-f'(x)| 用 v(x) 表示，并转化为导数形式。
|f(x)-f'(x)| = |v(x)f(x) - v(x)f'(x)| / v(x) = |(v(x)f(x))'| / v(x) = e^x |(e^{-x}f(x))'|。
公式：|f(x)-f'(x)| = e^x |(e^{-x}f(x))'|
提示：注意 (v(x)f(x))' = v'(x)f(x) + v(x)f'(x) = -v(x)f(x) + v(x)f'(x) = -v(x)(f(x)-f'(x))，因此绝对值内符号相反。
步骤 3/4
目标：利用 e^x ≥ 1 在 [0,1] 上成立，放缩得到下界。
由于 e^x ≥ 1 对 x∈[0,1] 成立，所以 e^x |(e^{-x}f(x))'| ≥ |(e^{-x}f(x))'| ≥ (e^{-x}f(x))'（因为导数可能为负，但绝对值大于等于本身）。
公式：e^x ≥ 1, |g'| ≥ g'
提示：放缩时注意方向：e^x ≥ 1 保证不等式成立；|g'| ≥ g' 是绝对值的基本性质。
步骤 4/4
目标：对不等式两边积分，并利用牛顿-莱布尼茨公式计算积分值。
∫_0^1 |f(x)-f'(x)| dx ≥ ∫_0^1 (e^{-x}f(x))' dx = e^{-x}f(x)|_0^1 = e^{-1}·1 - e^0·0 = e^{-1}。
公式：∫_0^1 (e^{-x}f(x))' dx = e^{-1}f(1) - e^0 f(0) = e^{-1}
提示：注意 f(0)=0, f(1)=1 的已知条件。

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