方企勤 第三章 一元函数积分学 第12题
📝 题目
例 12 设函数 $f\left( x\right)$ 二阶可微,求证: 存在 $\xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得
$$ \left| {{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \left( {b - a}\right) f\left( \frac{a + b}{2}\right) }\right| \leq \frac{{M}_{2}}{24}{\left( b - a\right) }^{3}, \tag{3.16} $$
其中 ${M}_{2} = \mathop{\max }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}\left| {{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right|$ .
💡 答案解析
证 记 $c = \frac{a + b}{2}$ ,将 $f\left( x\right)$ 在 $x = c$ 处按泰勒公式展开,
$$ f\left( x\right) = f\left( c\right) + {f}^{\prime }\left( c\right) \left( {x - c}\right) + {f}^{\prime \prime }\left( \eta \right) \frac{{\left( x - c\right) }^{2}}{2}, \tag{3. 17} $$
其中 $\eta$ 在 $c$ 与 $x$ 之间. 在 (3.17) 式两边对 $x$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上积分,注意到 (3.17) 式右边第二项的积分为零, 我们有
$$ \left| {{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \left( {b - a}\right) f\left( \frac{a + b}{2}\right) }\right| = \left| {{\int }_{a}^{b}{f}^{\prime \prime }\left( \eta \right) \frac{{\left( x - c\right) }^{2}}{2}\mathrm{\;d}x}\right| $$
$$ \leq {M}_{2}{\int }_{a}^{b}\frac{{\left( x - c\right) }^{2}}{2}\mathrm{\;d}x = \frac{{M}_{2}}{24}{\left( b - a\right) }^{3}, $$
即 (3.16)式成立.