方企勤 第三章 一元函数积分学 第10题
📝 题目
例 10 设 $0 < \alpha < \beta \leq \pi ,r\left( \theta \right) \in C\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ ,且 $r\left( \theta \right) \geq 0\left( {\alpha \leq \theta \leq \beta }\right)$ . 求证: 由极坐标表示的平面图形
$$ \{ \left( {\theta ,r}\right) \mid \alpha \leq \theta \leq \beta ,0 \leq r \leq r\left( \theta \right) \} $$
绕极轴旋转所得的立体体积为
$$ V = \frac{2\pi }{3}{\int }_{a}^{\beta }{r}^{3}\left( \theta \right) \sin \theta \mathrm{d}\theta . $$
💡 答案解析
证 取自变量微元 $\left\lbrack {\theta ,\theta + \mathrm{d}\theta }\right\rbrack$ ,相应的面积微元 ${OAB}$ 如图 3.12 所示.
微元 ${OAB}$ 的面积 $\mathrm{d}A = \frac{1}{2}{r}^{2}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta$ ,微元 ${OAB}$ 的重心 (即 $\bigtriangleup {OAB}$ 的重心) 到极轴的距离为 $\frac{2}{3}r\left( \theta \right) \sin \theta$ .
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/033.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 3.12
用古鲁金第二定理,微元 ${OAB}$ 绕极轴旋转所得旋转体的体积
$$ \mathrm{d}V = {2\pi } \cdot \frac{2}{3}r\left( \theta \right) \sin \theta \cdot \frac{1}{2}{r}^{2}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta $$
$$ = \frac{2\pi }{3}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{3}\left( \theta \right) \sin \theta \mathrm{d}\theta , $$
故
$$ V = \frac{2\pi }{3}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{3}\left( \theta \right) \sin \theta \mathrm{d}\theta . $$