方企勤 第三章 一元函数积分学 第12题
📝 题目
例 12 设半径为 1 的球正好有一半沉入水中, 球的密度为 1 . 现将球从水中取出, 问要做多少功?
思路 把球的质量 $\frac{4\pi }{3}$ 集中到球心,球从水中取出作功的问题可以看成求质量为 $\frac{4\pi }{3}$ 的质点向上移动距离为 1 时所做的功. 因此,问题归结为如何求出变力, 即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力. 因为球和水的密度都是 1 , 所以
球受的重力 $= g \times$ 球的体积,
球受的浮力 $= g \times$ 浸在水中部分球的体积,
其中 $g = {9.8}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2}$ . 因此,球在提起过程中受到的重力与浮力的合力等于球露出水面部分的体积 (如图 3.14 所示).
💡 答案解析
解 当球心向上移动距离 $h$ 时,球露出水面部分的体积为
$$ \frac{2\pi }{3} + {\int }_{0}^{h}\pi {\left( \sqrt{1 - {\left( h - z\right) }^{2}}\right) }^{2}\mathrm{\;d}z = \frac{2\pi }{3} + \pi \left( {h - \frac{{h}^{3}}{3}}\right) . $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/035.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 3.14
因而将球从水中取出所做的功为
$$ W = g \times {\int }_{0}^{1}\left\lbrack {\frac{2\pi }{3} + \pi \left( {h - \frac{{h}^{3}}{3}}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}h = g \times \left\lbrack {\frac{2\pi }{3} + \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{12}}\right) }\right\rbrack $$
$$ = \frac{13}{12}{\pi g} = \frac{13\pi }{12} \times {9.8}\left( \mathrm{\;N}\right) . $$