方企勤 第四章 级 数 第1题
📝 题目
例 1 求级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{4{n}^{2} - 1}}$ 的和.
💡 答案解析
解 因为
$$ {S}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{\left( {{2k} - 1}\right) \left( {{2k} + 1}\right) } $$
$$ = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left\lbrack {\frac{1}{{2k} - 1} - \frac{1}{{2k} + 1}}\right\rbrack $$
$$ = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n} + 1}}\right) , $$
故 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{S}_{n} = 1/2}$ . 所以级数收敛,其和为 $1/2$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将通项分解为部分分式
将级数通项 1/(4n^2-1) 分解为 1/[(2n-1)(2n+1)]，然后利用裂项相消法，将其写成 1/2 * [1/(2n-1) - 1/(2n+1)]。
公式：1/(4n^2-1) = 1/2 * [1/(2n-1) - 1/(2n+1)]
提示：注意分母是平方差形式，可分解为 (2n-1)(2n+1)。
步骤 2/4
目标：写出部分和 S_n 的表达式
S_n = sum_{k=1}^n 1/(4k^2-1) = 1/2 * sum_{k=1}^n [1/(2k-1) - 1/(2k+1)]。
公式：S_n = 1/2 * sum_{k=1}^n [1/(2k-1) - 1/(2k+1)]
提示：求和时注意项数从 k=1 到 n。
步骤 3/4
目标：计算部分和 S_n 的简化形式
将求和展开，相邻项相消，得到 S_n = 1/2 * (1 - 1/(2n+1))。
公式：S_n = 1/2 * (1 - 1/(2n+1))
提示：裂项相消后，只剩下第一项和最后一项。
步骤 4/4
目标：求极限得到级数和
当 n→∞ 时，1/(2n+1)→0，所以 lim_{n→∞} S_n = 1/2。因此级数收敛，和为 1/2。
公式：lim_{n→∞} S_n = 1/2
提示：极限计算时注意分母趋于无穷大。
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