方企勤 第四章 级 数 第11题

教材习题

📝 题目

例 11 利用级数收敛性, 证明序列

$$ {x}_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n $$

当 $\displaystyle{n \rightarrow \infty}$ 时极限存在.

💡 答案解析

证 令 ${a}_{1} = {x}_{1},{a}_{n} = {x}_{n} - {x}_{n - 1}\left( {n = 2,3,\cdots }\right)$ ,则级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}}$ 的部分和为 ${x}_{n}$ ,所以证 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ 存在归结为证级数收敛. 因

$$ {a}_{n} = \frac{1}{n} + \ln \left( {1 - \frac{1}{n}}\right) = \frac{1}{n} + \left\lbrack {-\frac{1}{n} - \frac{1}{2{n}^{2}} + o\left( \frac{1}{{n}^{2}}\right) }\right\rbrack $$

$$ = - \frac{1}{2{n}^{2}} + o\left( \frac{1}{{n}^{2}}\right) , $$

由于 ${a}_{n} \sim - \frac{1}{2{n}^{2}}$ ,推出级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}}$ 收敛,也就是 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = c}$ 存在, $c$ 称为欧拉常数, $c = {0.577216}\cdots$ . 若记 ${x}_{n} - c = {r}_{n}$ ,则

$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} = c + \ln n + {r}_{n},\;\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{r}_{n} = 0. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将序列极限问题转化为级数收敛问题
令 a1 = x1, an = xn - x_{n-1} (n=2,3,...)，则级数 ∑_{n=1}^∞ an 的部分和为 xn，因此证明 lim_{n→∞} xn 存在等价于证明级数 ∑_{n=1}^∞ an 收敛。
公式：a_n = x_n - x_{n-1} = 1/n + ln(1 - 1/n)
提示：注意部分和与序列的关系：S_n = x_n。
步骤 2/4
目标：计算 an 的表达式并展开为无穷小量
计算 an = 1/n + ln(1 - 1/n)。利用 ln(1 - x) 的泰勒展开：ln(1 - x) = -x - x^2/2 + o(x^2)，其中 x = 1/n。代入得：an = 1/n + [-1/n - 1/(2n^2) + o(1/n^2)] = -1/(2n^2) + o(1/n^2)。
公式：ln(1 - 1/n) = -1/n - 1/(2n^2) + o(1/n^2)
提示：泰勒展开时注意余项 o(1/n^2) 表示高阶无穷小。
步骤 3/4
目标：判断级数收敛性
由 an = -1/(2n^2) + o(1/n^2) 可知 an ~ -1/(2n^2) (n→∞)。由于 ∑ 1/n^2 收敛，故 ∑ an 绝对收敛，从而级数收敛。
公式：a_n ~ -1/(2n^2)
提示：比较判别法：若通项与 1/n^2 同阶，则级数收敛。
步骤 4/4
目标：得出结论
级数 ∑ an 收敛，故其部分和序列 {xn} 收敛，即 lim_{n→∞} xn 存在，记为 c（欧拉常数）。
公式：lim_{n→∞} (1 + 1/2 + ... + 1/n - ln n) = c
提示：欧拉常数 c ≈ 0.577216。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第10题 返回列表 第12题 →