方企勤 第四章 级 数 第8题
📝 题目
例 8 求证: 级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{x}}}$ 在 $x > 1$ 上不一致收敛.
💡 答案解析
证 用反证法. 假设级数在 $x > 1$ 上一致收敛,那么由
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设级数在 x > 1 上一致收敛
用反证法，假设级数 ∑_{n=1}^∞ 1/n^x 在区间 (1, +∞) 上一致收敛。
提示：反证法：先假设结论不成立，然后推出矛盾。
步骤 2/5
目标：利用一致收敛的柯西准则
根据一致收敛的柯西准则，对任意 ε > 0，存在 N，使得当 m > n ≥ N 时，对一切 x > 1 有 |∑_{k=n+1}^m 1/k^x| < ε。
公式：∀ε>0, ∃N, ∀m>n≥N, ∀x>1: |∑_{k=n+1}^m 1/k^x| < ε
提示：一致收敛的柯西准则是判断一致收敛的重要工具。
步骤 3/5
目标：取特定的 ε 和 x 值
取 ε = 1/2，则存在 N，当 m > n ≥ N 时，对一切 x > 1 有 ∑_{k=n+1}^m 1/k^x < 1/2。特别地，取 n = N，m = 2N，则对一切 x > 1 有 ∑_{k=N+1}^{2N} 1/k^x < 1/2。
公式：∑_{k=N+1}^{2N} 1/k^x < 1/2, ∀x>1
提示：选择适当的 ε 和区间端点，以便后续推导矛盾。
步骤 4/5
目标：令 x → 1+ 得到矛盾
考虑 x → 1+，则 1/k^x → 1/k，且级数 ∑_{k=N+1}^{2N} 1/k 是固定的正数。由于 ∑_{k=N+1}^{2N} 1/k ≥ N * 1/(2N) = 1/2，实际上 ∑_{k=N+1}^{2N} 1/k > 1/2（因为当 N≥1 时，至少有一项大于 1/(2N)）。因此，当 x 充分接近 1 时，∑_{k=N+1}^{2N} 1/k^x 可以任意接近 ∑_{k=N+1}^{2N} 1/k，从而大于 1/2，与上一步的结论矛盾。
公式：lim_{x→1+} ∑_{k=N+1}^{2N} 1/k^x = ∑_{k=N+1}^{2N} 1/k > 1/2
提示：利用极限的保号性，当 x 足够接近 1 时，和会超过 1/2。
步骤 5/5
目标：得出原假设不成立
因此，假设错误，级数在 x > 1 上不一致收敛。
提示：反证法完成。
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