方企勤 第四章 级 数 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 设 $0 < a < 1$ ,将函数 $f\left( x\right) = \cos {ax}\left( {\left| x\right| < \pi }\right)$ 展开为傅氏级数.

💡 答案解析

解 因为 $f\left( x\right)$ 是偶函数,所以 ${b}_{n} = 0$ ,且

$$ {a}_{0} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\cos \left( {ax}\right) \mathrm{d}x = \frac{2}{\pi a}\sin \left( {a\pi }\right) , $$

$$ {a}_{n} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\cos \left( {ax}\right) \cos \left( {nx}\right) \mathrm{d}x $$

$$ = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\left\lbrack {\cos \left( {a - n}\right) x + \cos \left( {a + n}\right) x}\right\rbrack \mathrm{d}x $$

$$ = \frac{1}{\pi }{\left\lbrack \frac{\sin \left( {a - n}\right) x}{a - n} + \frac{\sin \left( {a + n}\right) x}{a + n}\right\rbrack }_{0}^{\pi } $$

$$ = {\left( -1\right) }^{n}\frac{{2a}\sin \left( {a\pi }\right) }{\pi \left( {{a}^{2} - {n}^{2}}\right) }, $$

即得

$$ \frac{\sin {a\pi }}{\pi }\left\lbrack {\frac{1}{a} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{2a}{{a}^{2} - {n}^{2}}\cos {nx}}\right\rbrack = \cos {ax}\;\left( {\left| x\right| \leq \pi }\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：判断函数奇偶性
由于 f(x)=cos(ax) 是偶函数，所以傅里叶级数中正弦项系数 b_n=0。
提示：偶函数的傅里叶级数只含余弦项。
步骤 2/6
目标：计算 a0
利用公式 a0 = (2/π) ∫_0^π cos(ax) dx，积分得 (2/π) * (1/a) sin(aπ)。
公式：a0 = (2/(πa)) sin(aπ)
提示：注意积分限从0到π，因为偶函数对称性。
步骤 3/6
目标：计算 an
利用公式 an = (2/π) ∫_0^π cos(ax) cos(nx) dx，使用积化和差公式将乘积化为和差形式。
公式：cos(ax)cos(nx) = [cos((a-n)x) + cos((a+n)x)]/2
提示：积化和差公式：cosA cosB = [cos(A-B)+cos(A+B)]/2。
步骤 4/6
目标：积分计算 an
对和差形式积分：∫_0^π [cos((a-n)x) + cos((a+n)x)] dx = [sin((a-n)x)/(a-n) + sin((a+n)x)/(a+n)]_0^π，代入上下限得 sin((a-n)π)/(a-n) + sin((a+n)π)/(a+n)。
公式：∫ cos(kx) dx = sin(kx)/k
提示：注意 a 不是整数，分母不为零。
步骤 5/6
目标：化简 an
利用 sin((a±n)π) = sin(aπ)cos(nπ) ± cos(aπ)sin(nπ) = (-1)^n sin(aπ)，代入得 an = (1/π)[(-1)^n sin(aπ)/(a-n) + (-1)^n sin(aπ)/(a+n)] = (-1)^n sin(aπ)/π * (1/(a-n) + 1/(a+n)) = (-1)^n sin(aπ)/π * (2a/(a^2-n^2))。
公式：an = (-1)^n * (2a sin(aπ)) / (π (a^2 - n^2))
提示：通分合并分母。
步骤 6/6
目标：写出傅里叶级数
将 a0 和 an 代入傅里叶级数公式：f(x) = a0/2 + ∑_{n=1}^∞ an cos(nx)，得到 cos(ax) = sin(aπ)/π [1/a + ∑_{n=1}^∞ (-1)^n (2a/(a^2-n^2)) cos(nx)]，|x|≤π。
公式：cos(ax) = (sin(aπ)/π)[1/a + 2a∑_{n=1}^∞ ((-1)^n/(a^2-n^2)) cos(nx)]
提示：注意 a0/2 项为 sin(aπ)/(πa)。

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