方企勤 第四章 级 数 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 将函数 $f\left( x\right) = {x}^{2}\left( {-\pi \leq x \leq \pi }\right)$ 展开为傅氏级数,并求级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}}$ 的和.

💡 答案解析

解 因为 $f\left( x\right)$ 是偶函数,所以 ${b}_{n} = 0$ ,且

$$ {a}_{0} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }{x}^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{2}{3}{\pi }^{2}, $$

$$ {a}_{n} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }{x}^{2}\cos {nx}\mathrm{\;d}x = {\left( -1\right) }^{n}\frac{4}{{n}^{2}}, $$

即得

$$ \frac{{\pi }^{2}}{3} + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{2}}\cos {nx} = {x}^{2}\;\left( {-\pi \leq x \leq \pi }\right) . $$

由封闭性公式, 有

$$ \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{4}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}{\left( \frac{2{\pi }^{2}}{3}\right) }^{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{16}{{n}^{4}}, $$

由此解得

$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}} = \frac{{\pi }^{4}}{90} $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：判断函数奇偶性，简化傅里叶系数计算
由于 f(x)=x^2 是偶函数，在 [-π, π] 上展开傅里叶级数时，正弦项系数 b_n = 0。
公式：b_n = 0
提示：偶函数的傅里叶级数只含余弦项。
步骤 2/5
目标：计算 a_0
利用公式 a_0 = (2/π) ∫_0^π x^2 dx，计算得 a_0 = (2/π) * (π^3/3) = 2π^2/3。
公式：a_0 = (2/π) ∫_0^π x^2 dx = 2π^2/3
提示：注意积分区间为 [0,π] 而非 [-π,π]。
步骤 3/5
目标：计算 a_n
利用公式 a_n = (2/π) ∫_0^π x^2 cos(nx) dx，通过分部积分得到 a_n = (-1)^n * 4/n^2。
公式：a_n = (2/π) ∫_0^π x^2 cos(nx) dx = (-1)^n * 4/n^2
提示：分部积分时注意边界项和递推。
步骤 4/5
目标：写出傅里叶级数展开式
将 a_0 和 a_n 代入傅里叶级数公式，得到 x^2 = π^2/3 + 4 ∑_{n=1}^∞ (-1)^n/n^2 cos(nx)，在 [-π, π] 上成立。
公式：x^2 = π^2/3 + 4 ∑_{n=1}^∞ (-1)^n/n^2 cos(nx)
提示：注意级数从 n=1 开始。
步骤 5/5
目标：利用封闭性公式（Parseval 等式）求 ∑ 1/n^4
封闭性公式： (1/π) ∫_{-π}^π [f(x)]^2 dx = a_0^2/2 + ∑_{n=1}^∞ (a_n^2 + b_n^2)。代入 f(x)=x^2，左边 = (1/π) ∫_{-π}^π x^4 dx = (2/π) ∫_0^π x^4 dx = (2/π)*(π^5/5) = 2π^4/5。右边 = (1/2)*(2π^2/3)^2 + ∑_{n=1}^∞ (4/n^2)^2 = (2π^4/9) + 16 ∑_{n=1}^∞ 1/n^4。于是 2π^4/5 = 2π^4/9 + 16 ∑ 1/n^4，解得 ∑ 1/n^4 = π^4/90。
公式：(1/π) ∫_{-π}^π x^4 dx = a_0^2/2 + ∑ a_n^2
提示：注意 a_n 平方后系数为 16/n^4。

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