方企勤 第五章 多元函数微分学 第6题
📝 题目
例 6 确定并画出下列函数的定义域, 指出等位面是什么样的曲面 (或曲线):
(1) $u = \ln \left( {y - {x}^{2}}\right)$ ; (2) $u = \arccos \left( {{x}^{2} + {y}^{2} - {z}^{2}}\right)$ .
💡 答案解析
解 (1) 定义域为 $y - {x}^{2} > 0$ ,或 $\left\{ {\left( {x,y}\right) \mid y > {x}^{2}}\right\}$ (见图 5.2). 令 $c$ 为实数,等位线为抛物线 $y = {x}^{2} + {\mathrm{e}}^{c}$ .
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/037.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 5.2
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/038.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 5.3
(2)定义域为 $- 1 \leq {x}^{2} + {y}^{2} - {z}^{2} \leq 1$ ,即为单叶双曲面 ${x}^{2} + {y}^{2} - {z}^{2}$ $= 1$ 与双叶双曲面 ${x}^{2} + {y}^{2} - {z}^{2} = - 1$ 之间的闭区域 (见图 5.3). 当 $c = \pi /2$ 时,等位面为锥面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {z}^{2}$ ; 当 $0 \leq c < \pi /2$ 时,等位面为单叶双曲面 ${x}^{2} + {y}^{2} - {z}^{2} = \cos c$ ; 当 $\pi /2 < c \leq \pi$ 时,等位面为双叶双曲面 ${x}^{2} + {y}^{2} - {z}^{2} = \cos c.$