方企勤 第五章 多元函数微分学 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 求下列极限:

(1) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow + \infty } \\ {y \rightarrow + \infty } }}{\left( \frac{xy}{{x}^{2} + {y}^{2}}\right) }^{x}$ ; (2) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow \infty } \\ {y \rightarrow a} }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{\frac{{x}^{2}}{x + y}}$ .

💡 答案解析

解 (1) 因 $0 \leq {\left( \frac{xy}{{x}^{2} + {y}^{2}}\right) }^{x} \leq {\left( \frac{1}{2}\right) }^{x}\left( {x > 0,y > 0}\right)$ ,所以

$$ \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow + \infty } \\ {y \rightarrow + \infty } }}{\left( \frac{xy}{{x}^{2} + {y}^{2}}\right) }^{x} = 0. $$

(2) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow \infty } \\ {y \rightarrow a} }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{\frac{{x}^{2}}{x + y}} = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow \infty } \\ {y \rightarrow a} }}{\left\lbrack {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x}\right\rbrack }^{\frac{x}{x + y}} = {\mathrm{e}}^{1} = \mathrm{e}$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：求极限 (1)
由于 x>0, y>0，利用不等式 xy ≤ (x^2+y^2)/2，得 0 ≤ (xy/(x^2+y^2))^x ≤ (1/2)^x。当 x→+∞ 时，(1/2)^x → 0，由夹逼准则得极限为 0。
公式：xy ≤ (x^2+y^2)/2
提示：注意使用不等式放缩和夹逼准则。
步骤 2/2
目标：求极限 (2)
将原式改写为 [(1+1/x)^x]^{x/(x+y)}。当 x→∞ 时，(1+1/x)^x → e；当 x→∞, y→a 时，x/(x+y) → 1。因此极限为 e^1 = e。
公式：lim_{x→∞} (1+1/x)^x = e
提示：利用重要极限和极限的复合运算法则。

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