方企勤 第五章 多元函数微分学 第6题
📝 题目
例 6 设 $n$ 为整数,若 $\forall t > 0,f\left( {{tx},{ty}}\right) = {t}^{n}f\left( {x,y}\right)$ ,则称 $f$ 是 $n$ 次齐次函数. 证明: $f\left( {x,y}\right)$ 是零次齐次函数的充要条件是
$$ x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = 0. $$
💡 答案解析
证法 1 必要性 由条件得
$$ f\left( {{tx},{ty}}\right) = f\left( {x,y}\right) \;\left( {\forall t > 0}\right) , $$
上述恒等式对 $t$ 求导,得
$$ x{f}_{x}^{\prime }\left( {{tx},{ty}}\right) + y{f}_{y}^{\prime }\left( {{tx},{ty}}\right) = 0. $$
令 $t = 1$ ,即得
$$ x{f}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right) + y{f}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right) = 0. $$
(记号 ${f}_{x}^{\prime }\left( {{tx},{ty}}\right)$ 理解成函数 $f\left( {x,y}\right)$ 对 $x$ 求偏导数,然后变量用 ${tx}$ , ${ty}$ 代入.)
充分性 令 $x = r\cos \theta ,y = r\sin \theta$ . 由
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明必要性：由零次齐次函数定义推导偏微分方程
设f是零次齐次函数，则对任意t>0，有f(tx,ty)=f(x,y)。将等式两边对t求导，左边应用链式法则得x f_x(tx,ty)+y f_y(tx,ty)=0。令t=1，即得x f_x(x,y)+y f_y(x,y)=0。
公式：f(tx,ty)=f(x,y) ⇒ x f_x(tx,ty)+y f_y(tx,ty)=0 ⇒ x f_x(x,y)+y f_y(x,y)=0
提示：注意对t求导时，x和y视为常数，f_x表示对第一个变量的偏导，代入(tx,ty)。
步骤 2/2
目标：证明充分性：由偏微分方程推导零次齐次性
令x=r cosθ, y=r sinθ，则f(x,y)=f(r cosθ, r sinθ)=g(r,θ)。计算偏导数：∂f/∂x = (∂g/∂r)(∂r/∂x) + (∂g/∂θ)(∂θ/∂x)，类似得∂f/∂y。代入x∂f/∂x+y∂f/∂y=0，利用x∂r/∂x+y∂r/∂y=r，x∂θ/∂x+y∂θ/∂y=0，化简得r ∂g/∂r=0，故∂g/∂r=0，即g与r无关，所以f(tx,ty)=g(r,θ)=f(x,y)，即f是零次齐次函数。
公式：x=r cosθ, y=r sinθ ⇒ x∂f/∂x+y∂f/∂y = r ∂g/∂r = 0 ⇒ ∂g/∂r=0 ⇒ f(tx,ty)=f(x,y)
提示：极坐标变换简化计算，注意r和θ对x,y的偏导关系。
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