方企勤 第五章 多元函数微分学 第1题
📝 题目
例 1 求曲线 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 6,x + y + z = 0$ 在(1, - 2,1)点的切线方程.
💡 答案解析
解 切向量
$$ \mathbf{T} = {\left\lbrack \left| \begin{matrix} {2y} & {2z} \\ 1 & 1 \end{matrix}\right| ,\left| \begin{matrix} {2z} & {2x} \\ 1 & 1 \end{matrix}\right| ,\left| \begin{matrix} {2x} & {2y} \\ 1 & 1 \end{matrix}\right| \right\rbrack }_{\left( 1, - 2,1\right) } = \left( {-6,0,6}\right) , $$
所以切线方程为
$$ \frac{x - 1}{-6} = \frac{y + 2}{0} = \frac{z - 1}{6}, $$
或
$$ x + z = 2,\;y + 2 = 0. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求切向量
曲线由两个方程给出：球面 x^2+y^2+z^2=6 和平面 x+y+z=0。在点 (1,-2,1) 处，曲线的切向量垂直于两个曲面的法向量。球面的法向量为 (2x,2y,2z)，平面的法向量为 (1,1,1)。切向量 T 等于这两个法向量的叉积，即 T = (2x,2y,2z) × (1,1,1)。计算叉积：T = (2y*1 - 2z*1, 2z*1 - 2x*1, 2x*1 - 2y*1) = (2y-2z, 2z-2x, 2x-2y)。代入点 (1,-2,1) 得 T = (2*(-2)-2*1, 2*1-2*1, 2*1-2*(-2)) = (-4-2, 2-2, 2+4) = (-6, 0, 6)。
公式：T = (2y-2z, 2z-2x, 2x-2y)
提示：注意叉积的顺序，确保方向正确。
步骤 2/2
目标：写出切线方程
切向量为 (-6,0,6)，点 (1,-2,1)。切线方程的点向式为 (x-1)/(-6) = (y+2)/0 = (z-1)/6。由于分母有0，表示 y 方向无变化，即 y = -2。化简得 x+z=2, y=-2。
公式：点向式： (x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c
提示：当方向向量分量为0时，对应坐标固定不变。
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