方企勤 第五章 多元函数微分学 第2题
📝 题目
例 2 求椭球面 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} = 1$ 在 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)$ 点的切平面方程.
💡 答案解析
解 法向量 $\mathbf{N} = \left( {\frac{2{x}_{0}}{{a}^{2}},\frac{2{y}_{0}}{{b}^{2}},\frac{2{z}_{0}}{{c}^{2}}}\right)$ ,所以切平面方程为
$$ \left( {x - {x}_{0}}\right) \frac{2{x}_{0}}{{a}^{2}} + \left( {y - {y}_{0}}\right) \frac{2{y}_{0}}{{b}^{2}} + \left( {z - {z}_{0}}\right) \frac{2{z}_{0}}{{c}^{2}} = 0, $$
化简得
$$ \frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}} + \frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}} + \frac{z{z}_{0}}{{c}^{2}} = 1. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求椭球面在给定点的法向量
设椭球面方程为 F(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 - 1 = 0，则梯度 ∇F = (2x/a^2, 2y/b^2, 2z/c^2)。在点 M(x0,y0,z0) 处，法向量 N = (2x0/a^2, 2y0/b^2, 2z0/c^2)。
公式：∇F = (2x/a^2, 2y/b^2, 2z/c^2)
提示：法向量即为梯度向量，注意分母平方项。
步骤 2/3
目标：写出切平面方程
利用点法式，切平面方程为 (x-x0)*(2x0/a^2) + (y-y0)*(2y0/b^2) + (z-z0)*(2z0/c^2) = 0。
公式：(x-x0)*(2x0/a^2) + (y-y0)*(2y0/b^2) + (z-z0)*(2z0/c^2) = 0
提示：点法式：法向量点乘 (x-x0, y-y0, z-z0) = 0。
步骤 3/3
目标：化简切平面方程
展开并整理：2x0(x-x0)/a^2 + 2y0(y-y0)/b^2 + 2z0(z-z0)/c^2 = 0，即 2x0x/a^2 - 2x0^2/a^2 + 2y0y/b^2 - 2y0^2/b^2 + 2z0z/c^2 - 2z0^2/c^2 = 0。由于点 M 在椭球面上，满足 x0^2/a^2 + y0^2/b^2 + z0^2/c^2 = 1，所以 -2(x0^2/a^2 + y0^2/b^2 + z0^2/c^2) = -2。代入得 2(x0x/a^2 + y0y/b^2 + z0z/c^2) - 2 = 0，两边除以2得 x0x/a^2 + y0y/b^2 + z0z/c^2 = 1。
公式：x0x/a^2 + y0y/b^2 + z0z/c^2 = 1
提示：利用点在曲面上消去常数项。
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