方企勤 第五章 多元函数微分学 第8题
📝 题目
例 8 给定 $n$ 阶行列式 $A = \left| {a}_{ij}\right|$ .
(1)求证: 在行向量长有限条件下,即 $\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{ij}^{2} = {s}_{i}\left( {i = 1,\cdots ,n}\right)$ 条件下,使 $A$ 达到最大值的列向量两两正交;
(2) 求证:
$$ {A}^{2} \leq \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{ij}^{2}}\right) . $$
💡 答案解析
证(1)这是一个 $n \times n$ 个变量的条件极值问题. 令
$$ \Phi = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{i1} & {a}_{i2} & \cdots & {a}_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{l1} & {a}_{l2} & \cdots & {a}_{ln} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| $$
$$ - {\lambda }_{1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{1j}^{2} - {s}_{1}}\right) - \cdots - {\lambda }_{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{nj}^{2} - {s}_{n}}\right) . $$
记 ${a}_{ij}$ 的代数余子式为 ${\Delta }_{ij}$ ,我们有
$$ {\Phi }_{{a}_{i1}}^{\prime } = \left| \begin{matrix} 0 & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & {a}_{i2} & \cdots & {a}_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & {a}_{i2} & \cdots & {a}_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & {a}_{n1} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| - 2{\lambda }_{i}{a}_{i1} = {\Delta }_{i1} - 2{\lambda }_{i}{a}_{i1}\overset{\text{ 令 }}{ \rightarrow }0. $$
$\Phi$ 对每个变量 ${a}_{ij}$ 求导,共得 $n \times n$ 个等式:
$$ {\Phi }_{{a}_{ij}}^{\prime } = {\Delta }_{ij} - 2{\lambda }_{i}{a}_{ij} = 0\;\left( {i,j = 1,2,\cdots ,n}\right) , $$
由此可得
$$ \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{lj}{\Delta }_{ij} - 2{\lambda }_{i}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{lj}{a}_{ij} = 0. $$
上式第一项即为行列式 $A$ 中第 $i$ 行元素换成第 $l$ 行元素的值,故有
$$ \left\{ \begin{array}{ll} 2{\lambda }_{i}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{lj}{a}_{ij} = 0, & l \neq i, \\ A - 2{\lambda }_{i}{s}_{i} = 0, & l = i. \end{array}\right. \tag{4.16} $$ (4.17)
因 $A$ 的最大值不会等于零 (如取 ${a}_{ii} = \sqrt{{s}_{i}}$ ,其余为零),由 (4.17) 式知 ${\lambda }_{i} \neq 0\left( {i = 1,\cdots ,n}\right)$ . 再由 (4.16) 式知 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{lj}{a}_{ij} = 0}$ ,即使 $A$ 达到最大值的行向量两两正交.
(2)给定行列式 $A = \left| {a}_{ij}\right|$ 后,令 $\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{ij}^{2} = {s}_{i}\left( {i = 1,\cdots ,n}\right)$ . 然后考虑行列式 $\widetilde{A} = \left| {\widetilde{a}}_{ij}\right|$ 在条件 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\widetilde{a}}_{ij}^{2} = {s}_{i}}$ 下的极值问题. 由 (1) 知,当行向量两两正交时,使 $\widetilde{A}$ 达到最大值 $\widetilde{A} = \left| {\widetilde{a}}_{ij}\right|$ (为了节省符号起见,我们将达到最大值的元素 ${\widetilde{a}}_{ij}$ 与变量 ${\widetilde{a}}_{ij}$ 采用同一记号),故
$$ {A}^{2} \leq {\widetilde{A}}^{2} = \widetilde{A}{\widetilde{A}}^{\mathrm{T}} = \left| \begin{matrix} {s}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {s}_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {s}_{n} \end{matrix}\right| $$
$$ = {s}_{1} \cdot {s}_{2} \cdot \cdots \cdot {s}_{n} = \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{ij}^{2}}\right) . $$
评注 结果表明: 在 ${\mathbf{R}}^{n}$ 空间中,由 $n$ 个长度一定的向量组成的平行 ${2n}$ 面体的体积,只在当 $n$ 个向量两两正交时组成的 ${2n}$ 面长方体体积最大.