方企勤 第六章 多元函数积分学 第3题
📝 题目
例 3 设 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中的闭可测图形, $y = f\left( x\right) \in C\left( \Omega \right)$ ,则点集
$$ S = \{ \left( {\mathbf{x},f\left( \mathbf{x}\right) }\right) \mid \mathbf{x} \in \Omega \} $$
的 $m + 1$ 维容积为零.
💡 答案解析
证 因集合平移不改变它的容积, 及有界闭集上的连续函数必有界,故无妨设 $f\left( \mathbf{x}\right) \geq 0$ . 再由闭可测图形上的连续函数一定可积和
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明点集S的(m+1)维容积为零
由于集合平移不改变容积，且f在闭集Ω上连续，故f有界。不妨设f(x)≥0（否则可平移）。
提示：利用平移不变性和有界性简化问题。
步骤 2/4
目标：利用可测图形和连续函数的可积性
Ω是闭可测图形，f在Ω上连续，因此f在Ω上可积。考虑f的积分与S的容积的关系。
提示：闭可测图形上的连续函数一定可积。
步骤 3/4
目标：构造分割并估计容积
将Ω分割成小区域，在每个小区域上，f的振幅很小，从而S的(m+1)维容积可被小区域面积乘以振幅控制。
公式：容积(S) ≤ Σ (Δx_i的m维体积) × (f的振幅) → 0
提示：利用连续函数的一致连续性，分割足够细时振幅趋于0。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，S的(m+1)维容积为零。
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