方企勤 第六章 多元函数积分学 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 计算重积分

$$ I = {\iint }_{D}x\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$

其中 $D$ 是以 $\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) ,\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) ,\left( {{x}_{3},{y}_{3}}\right)$ 为顶点,面积为 $A$ 的三角形.

💡 答案解析

解 三角形为凸集, 它的点总可表示为

$$ \left\{ {\begin{array}{l} x = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{3}{t}_{i}{x}_{i}, \\ y = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{3}{t}_{i}{y}_{i}, \end{array}\;\left( {{t}_{1} \geq 0,{t}_{2} \geq 0,{t}_{3} \geq 0,{t}_{1} + {t}_{2} + {t}_{3} = 1}\right) }\right. $$

故启发我们作变换:

$$ \left\{ \begin{array}{l} x = {x}_{3} + \xi \left( {{x}_{1} - {x}_{3}}\right) + \eta \left( {{x}_{2} - {x}_{3}}\right) , \\ y = {y}_{3} + \xi \left( {{y}_{1} - {y}_{3}}\right) + \eta \left( {{y}_{2} - {y}_{3}}\right) \end{array}\right. $$

$$ \left( {D \rightarrow \xi \geq 0,\eta \geq 0,\xi + \eta \leq 1}\right) , $$

所以

$$ I = {\iint }_{\begin{matrix} {\xi \geq 0,\eta \geq 0} \\ {\xi + \eta \leq 1} \end{matrix}}\left\lbrack {{x}_{3} + \xi \left( {{x}_{1} - {x}_{3}}\right) + \eta \left( {{x}_{2} - {x}_{3}}\right) }\right\rbrack \left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {\xi ,\eta }\right) }\right| \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta $$

(利用

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将三角形区域用参数表示
由于三角形是凸集，其内部任意点可表示为顶点坐标的凸组合：x = t1*x1 + t2*x2 + t3*x3, y = t1*y1 + t2*y2 + t3*y3，其中t1,t2,t3≥0且t1+t2+t3=1。
公式：x = t1*x1 + t2*x2 + t3*x3, y = t1*y1 + t2*y2 + t3*y3
提示：凸组合参数化是处理三角形区域积分的常用技巧。
步骤 2/5
目标：引入变量变换简化积分区域
令ξ = t1, η = t2，则t3 = 1-ξ-η。代入得变换：x = x3 + ξ(x1-x3) + η(x2-x3), y = y3 + ξ(y1-y3) + η(y2-y3)。新区域为ξ≥0, η≥0, ξ+η≤1。
公式：x = x3 + ξ(x1-x3) + η(x2-x3), y = y3 + ξ(y1-y3) + η(y2-y3)
提示：变换将原三角形映射为ξ-η平面上的标准三角形区域。
步骤 3/5
目标：计算雅可比行列式
计算变换的雅可比行列式：J = ∂(x,y)/∂(ξ,η) = (x1-x3)(y2-y3) - (x2-x3)(y1-y3)。其绝对值等于三角形面积的两倍，即|J| = 2A。
公式：|J| = |(x1-x3)(y2-y3) - (x2-x3)(y1-y3)| = 2A
提示：雅可比行列式的几何意义是面积伸缩因子。
步骤 4/5
目标：将重积分化为累次积分
原积分I = ∬_D x dxdy = ∬_{ξ≥0,η≥0,ξ+η≤1} [x3 + ξ(x1-x3) + η(x2-x3)] * |J| dξdη。由于|J|为常数，可提出积分号。
公式：I = |J| ∬_{ξ≥0,η≥0,ξ+η≤1} [x3 + ξ(x1-x3) + η(x2-x3)] dξdη
提示：注意积分区域是三角形，积分限需正确设置。
步骤 5/5
目标：计算积分
先对η积分（0到1-ξ），再对ξ积分（0到1）。计算得：∬ x3 dξdη = x3/2，∬ ξ dξdη = 1/6，∬ η dξdη = 1/6。代入得I = |J| [x3/2 + (x1-x3)/6 + (x2-x3)/6] = |J| (x1+x2+x3)/6 = 2A * (x1+x2+x3)/6 = A*(x1+x2+x3)/3。
公式：I = A*(x1+x2+x3)/3
提示：利用对称性可简化积分计算。

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