方企勤 第六章 多元函数积分学 第2题
📝 题目
解 由对称性知 $\displaystyle{\int }_{L}{x}^{2}\mathrm{\;d}s = {\int }_{L}{y}^{2}\mathrm{\;d}s = {\int }_{L}{z}^{2}\mathrm{\;d}s}$ ,所以
$$ I = {\int }_{L}{x}^{2}\mathrm{\;d}s = \frac{1}{3}{\int }_{L}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}s $$
$$ = \frac{{a}^{2}}{3}{\int }_{L}\mathrm{\;d}s = \frac{{a}^{2}}{3} \cdot {2\pi a} = \frac{2}{3}\pi {a}^{3}. $$
💡 答案解析
解 由对称性知 $\displaystyle{\int }_{L}{x}^{2}\mathrm{\;d}s = {\int }_{L}{y}^{2}\mathrm{\;d}s = {\int }_{L}{z}^{2}\mathrm{\;d}s}$ ,所以
$$ I = {\int }_{L}{x}^{2}\mathrm{\;d}s = \frac{1}{3}{\int }_{L}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}s $$
$$ = \frac{{a}^{2}}{3}{\int }_{L}\mathrm{\;d}s = \frac{{a}^{2}}{3} \cdot {2\pi a} = \frac{2}{3}\pi {a}^{3}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称性简化积分
由于曲线L关于坐标轴对称，且被积函数x²、y²、z²在对称点上的值相等，因此三个曲线积分相等：∫_L x² ds = ∫_L y² ds = ∫_L z² ds。
公式：∫_L x² ds = ∫_L y² ds = ∫_L z² ds
提示：对称性通常要求曲线和积分区域具有对称性，且被积函数在对称点取值相同。
步骤 2/4
目标：将所求积分表示为三个积分之和的三分之一
由对称性，I = ∫_L x² ds = (1/3) ∫_L (x² + y² + z²) ds。
公式：I = (1/3) ∫_L (x² + y² + z²) ds
提示：这一步利用了三个积分相等，将单个积分转化为和的三分之一。
步骤 3/4
目标：利用曲线方程简化被积函数
由于曲线L在球面x²+y²+z²=a²上，所以x²+y²+z²=a²，代入得I = (a²/3) ∫_L ds。
公式：x² + y² + z² = a²
提示：注意曲线L是球面上的曲线，通常为球面与平面的交线。
步骤 4/4
目标：计算弧长积分
∫_L ds 是曲线L的弧长。已知L是半径为a的圆周，弧长为2πa，所以I = (a²/3) * 2πa = (2/3)πa³。
公式：∫_L ds = 2πa
提示：弧长公式：半径为R的圆周长为2πR。
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