方企勤 第六章 多元函数积分学 第3题
📝 题目
例 3 计算第二型曲线积分
$$ I = {\int }_{\overset{⏜}{AB}}y\mathrm{\;d}x - x\mathrm{\;d}y, $$
其中 $A\left( {1,1}\right) ,B\left( {2,4}\right)$ 分为两种情况:
(1) $\overset{⏜}{AB}$ 为联结 $A,B$ 的直线段；(2) $\overset{⏜}{AB}$ 为抛物线 $y = {x}^{2}$ .
💡 答案解析
解 (1) $\overset{⏜}{AB}$ 直线段的方程为 $y = {3x} - 2$ ,所以
$$ I = {\int }_{1}^{2}\left\lbrack {\left( {{3x} - 2}\right) - {3x}}\right\rbrack \mathrm{d}x = - 2. $$
(2) $I = {\int }_{1}^{2}\left( {{x}^{2} - x \cdot {2x}}\right) \mathrm{d}x = - {\int }_{1}^{2}{x}^{2}\mathrm{\;d}x = - \frac{7}{3}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出直线段AB的参数方程
由点A(1,1)和B(2,4)确定直线方程。斜率k=(4-1)/(2-1)=3，直线方程为y-1=3(x-1)，即y=3x-2。
公式：y = 3x - 2
提示：注意直线方程的正确形式，避免计算斜率错误。
步骤 2/6
目标：将曲线积分化为定积分
将y=3x-2和dy=3dx代入积分式I=∫_AB y dx - x dy，得到I=∫_{x=1}^{2} [(3x-2) - x·3] dx = ∫_1^2 (3x-2-3x) dx = ∫_1^2 (-2) dx。
公式：I = ∫_1^2 (-2) dx
提示：注意dy的替换，以及积分限对应x从1到2。
步骤 3/6
目标：计算定积分
计算∫_1^2 (-2) dx = -2 × (2-1) = -2。
公式：∫_1^2 (-2) dx = -2
提示：定积分计算简单，注意符号。
步骤 4/6
目标：写出抛物线方程并求微分
抛物线方程为y=x^2，则dy=2x dx。
公式：y = x^2, dy = 2x dx
提示：注意微分形式正确。
步骤 5/6
目标：将曲线积分化为定积分
代入积分式：I=∫_AB y dx - x dy = ∫_{x=1}^{2} [x^2 - x·(2x)] dx = ∫_1^2 (x^2 - 2x^2) dx = ∫_1^2 (-x^2) dx。
公式：I = ∫_1^2 (-x^2) dx
提示：注意积分限对应x从1到2。
步骤 6/6
目标：计算定积分
计算∫_1^2 (-x^2) dx = -[x^3/3]_1^2 = -(8/3 - 1/3) = -7/3。
公式：∫_1^2 (-x^2) dx = -7/3
提示：注意幂函数积分公式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。