方企勤 第六章 多元函数积分学 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 计算第二型曲线积分

$$ I = {\int }_{\overset{⏜}{AO}}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\sin y - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x + {\mathrm{e}}^{x}\cos y\mathrm{\;d}y, $$

其中 $\overset{⏜}{AO}$ 为自 $A\left( {a,0}\right)$ 至 $O\left( {0,0}\right)$ 的上半圆周 ${x}^{2} + {y}^{2} = {ax}$ .

💡 答案解析

解 用位于 $x$ 轴上的线段 $\overline{OA}$ 与上半圆周 $\overset{⏜}{AO}$ 形成一闭路,记所围区域为 $D$ ,则

$$ {\int }_{\overset{⏜}{AO}}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\sin y - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}\dot{x} + {\mathrm{e}}^{x}\cos y\mathrm{\;d}y + {\int }_{\overline{OA}}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\sin y - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x + {\mathrm{e}}^{x}\cos y\mathrm{\;d}y $$

$$ = {\iint }_{D}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\cos y - {\mathrm{e}}^{x}\cos y + {2y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = 2{\iint }_{D}y\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, $$

所以

$$ I = 2{\iint }_{D}y\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y - {\int }_{\overline{OA}}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\sin y - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x + {\mathrm{e}}^{x}\cos y\mathrm{\;d}y $$

$$ = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{\sqrt{{ax} - {x}^{2}}}{2y}\mathrm{\;d}y = {\int }_{0}^{a}\left( {{ax} - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x = \frac{{a}^{3}}{6}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：构造闭合曲线，应用格林公式
添加x轴上的线段OA（从O到A），与上半圆弧AO形成闭合回路，方向为逆时针。记围成的区域为D。
提示：注意方向：原曲线是从A到O，添加的线段是从O到A，闭合回路为逆时针。
步骤 2/5
目标：应用格林公式计算闭合曲线积分
设P = e^x sin y - y^2, Q = e^x cos y。计算偏导数：∂Q/∂x = e^x cos y, ∂P/∂y = e^x cos y - 2y。则∂Q/∂x - ∂P/∂y = 2y。由格林公式，闭合曲线积分等于∬_D 2y dxdy。
公式：∮_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
提示：格林公式要求曲线正向（逆时针），这里闭合回路是逆时针。
步骤 3/5
目标：计算二重积分∬_D 2y dxdy
区域D由上半圆x^2+y^2=ax（即(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2）和x轴围成。用直角坐标：x从0到a，y从0到√(ax-x^2)。积分∬_D 2y dxdy = ∫_{x=0}^a dx ∫_{y=0}^{√(ax-x^2)} 2y dy = ∫_0^a (ax-x^2) dx = a^3/6。
公式：∫_0^a (ax-x^2) dx = a^3/6
提示：注意积分限：x从0到a，y从0到√(ax-x^2)。
步骤 4/5
目标：计算线段OA上的积分
线段OA：y=0，x从0到a（注意方向是从O到A，与x正向一致）。代入得：P = e^x sin0 - 0 = 0，Q = e^x cos0 = e^x，dy=0。所以积分∫_{OA} P dx + Q dy = ∫_0^a 0 dx = 0。
提示：由于y=0，dy=0，且sin0=0，所以被积函数为0。
步骤 5/5
目标：计算原曲线积分I
由格林公式：∮_{AO+OA} = ∬_D 2y dxdy = a^3/6。而∮ = ∫_{AO} + ∫_{OA}，所以I = ∫_{AO} = a^3/6 - ∫_{OA} = a^3/6 - 0 = a^3/6。
提示：注意原曲线方向是从A到O，而闭合回路中AO是从A到O，OA是从O到A，所以原积分就是AO上的积分。

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