方企勤 第六章 多元函数积分学 第9题
📝 题目
例 9 在例 8 的条件下,证明 $u\left( {x,y}\right)$ 在 $D$ 上是调和函数的充要条件为: $\forall {P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \in D$ ,
$$ u\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{x}_{0} + r\cos \theta ,{y}_{0} + r\sin \theta }\right) \mathrm{d}\theta , $$
$$ 0 < r < d = \rho \left( {{P}_{0},\partial D}\right) . $$
💡 答案解析
证 取 $L : {\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} = {r}^{2}$ ,这时 $L$ 的外法线方向即为半径 $r$ 的方向,由
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明必要性：若u在D上调和，则满足平均值性质
设u在D上调和，取P0∈D，对任意0
公式：u(P_0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta) d\theta
提示：利用调和函数的平均值性质直接得到。
步骤 2/2
目标：证明充分性：若u满足平均值性质，则u在D上调和
设u在D上连续且满足平均值性质。对任意P0∈D，取充分小的r>0使得圆盘包含于D。构造辅助函数v(r)=1/(2π)∫_0^{2π} u(x0+r cosθ, y0+r sinθ) dθ，由条件v(r)=u(P0)常数。对v(r)求导，利用散度定理或格林公式可得Δu=0。具体地，计算v'(r)=0，推出∫_{∂B_r} ∂u/∂n ds=0，由r的任意性得Δu=0。
公式：v(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta) d\theta, \quad v'(r)=0 \Rightarrow \Delta u=0
提示：利用平均值性质推导拉普拉斯方程，注意需要u的二阶连续可微性（可由平均值性质推出）。
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