方企勤 第七章 典型综合题分析 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 设 $f\left( x\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续可导,且 $\mathop{\sup }\limits_{{x \in \mathbf{R}}}\left| {{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| < + \infty$ ,求证:

$$ \mathop{\sup }\limits_{{x \in \mathbb{R}}}\left| {x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}f\left( x\right) }\right| < + \infty . $$

💡 答案解析

证法 1 设 $M = \mathop{\sup }\limits_{{x \in \mathbf{R}}}\left| {{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}{f}^{\prime }\left( x\right) }\right|$ ,则 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq M{\mathrm{e}}^{{x}^{2}}$ ,且

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq \left| {f\left( x\right) - f\left( 0\right) }\right| + \left| {f\left( 0\right) }\right| \leq \left| {{\int }_{0}^{x}\left| {{f}^{\prime }\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t}\right| + \left| {f\left( 0\right) }\right| $$

$$ \leq M\left| {{\int }_{0}^{x}{\mathrm{e}}^{{t}^{2}}\mathrm{\;d}t}\right| + \left| {f\left( 0\right) }\right| \;\left( {\forall x \in \mathbf{R}}\right) . \tag{7.16} $$

根据

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：定义M并建立f'(x)的界
设 M = sup_{x∈R} |e^{-x^2} f'(x)|，则 |f'(x)| ≤ M e^{x^2}。
公式：M = \sup_{x \in \mathbb{R}} |e^{-x^2} f'(x)|, \quad |f'(x)| \leq M e^{x^2}
提示：利用上确界的定义直接得到不等式。
步骤 2/4
目标：用积分不等式估计|f(x)|
由牛顿-莱布尼茨公式，|f(x)| ≤ |f(x)-f(0)| + |f(0)| ≤ |∫_0^x |f'(t)| dt| + |f(0)| ≤ M |∫_0^x e^{t^2} dt| + |f(0)|。
公式：|f(x)| \leq M \left| \int_0^x e^{t^2} dt \right| + |f(0)|
提示：注意绝对值与积分的交换，以及f'(t)的界。
步骤 3/4
目标：分析积分∫_0^x e^{t^2} dt的渐近行为
当x>0时，∫_0^x e^{t^2} dt ≤ x e^{x^2}（因为e^{t^2}在[0,x]上递增）；当x<0时，∫_0^x e^{t^2} dt = -∫_x^0 e^{t^2} dt，且|∫_0^x e^{t^2} dt| ≤ |x| e^{x^2}（因为e^{t^2} ≤ e^{x^2}对t∈[x,0]成立）。因此对任意x，|∫_0^x e^{t^2} dt| ≤ |x| e^{x^2}。
公式：\left| \int_0^x e^{t^2} dt \right| \leq |x| e^{x^2}
提示：利用被积函数的单调性进行放缩。
步骤 4/4
目标：得到|x e^{-x^2} f(x)|的界
由前两步，|x e^{-x^2} f(x)| ≤ |x| e^{-x^2} (M |x| e^{x^2} + |f(0)|) = M x^2 + |f(0)| |x| e^{-x^2}。由于x^2和|x|e^{-x^2}在R上有界（例如|x|e^{-x^2} ≤ 1/√(2e)），因此原上确界有限。
公式：|x e^{-x^2} f(x)| \leq M x^2 + |f(0)| |x| e^{-x^2}
提示：注意|x|e^{-x^2}有界，可用求导或已知结论。

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