方企勤 第七章 典型综合题分析 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty ,\infty }\right)$ 连续,

$$ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < + \infty ,\;{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x < + \infty . $$

定义

$$ \psi \left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {\left| {x - \xi }\right| + \left| {x - \eta }\right| }\right) }\left| {f\left( \xi \right) }\right| \left| {f\left( \eta \right) }\right| \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta . $$

求证:

$$ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\psi \left( x\right) \mathrm{d}x \leq 4{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x. $$

💡 答案解析

证法 1 利用 $\left| {f\left( \xi \right) }\right| \left| {f\left( \eta \right) }\right| \leq \frac{1}{2}\left\lbrack {{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2} + {\left| f\left( \eta \right) \right| }^{2}}\right\rbrack$ ,则

$$ \psi \left( x\right) \leq {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {\left| {x - \xi }\right| + \left| {x - \eta }\right| }\right) }\frac{{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2} + {\left| f\left( \eta \right) \right| }^{2}}{2}\mathrm{\;d}\xi \mathrm{d}\eta $$

$$ = \frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2}{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \xi }\right| }\mathrm{d}\xi {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \eta }\right| }\mathrm{d}\eta $$

$$ + \frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( \eta \right) \right| }^{2}{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \eta }\right| }\mathrm{d}\eta {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \xi }\right| }\mathrm{d}\xi . \tag{7.22} $$

又

$$ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \eta }\right| }\mathrm{d}\eta = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \xi }\right| }\mathrm{d}\xi = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| u\right| }\mathrm{d}u $$

$$ = 2{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{\;d}u = 2, \tag{7.23} $$

代入 (7.22) 式得到

$$ \psi \left( x\right) \leq 2{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2}{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \xi }\right| }\mathrm{d}\xi . $$

再用 (7.23) 式推出

$$ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\psi \left( x\right) \mathrm{d}x \leq 2{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \xi }\right| }\mathrm{d}x{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi = 4{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi . $$

证法 2 利用柯西-施瓦兹不等式,

$$ \psi \left( x\right) = {\left( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \xi }\right| }f\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \right) }^{2} = {\left( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\frac{\left| x - \xi \right| }{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\left| x - \xi \right| }{2}}\left| f\left( \xi \right) \right| \mathrm{d}\xi \right) }^{2} $$

$$ \leq {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \xi }\right| }\mathrm{d}\xi {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \xi }\right| }{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi $$

$$ = 2{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - \xi }\right| }{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi . $$

下同证法 1.

证法 3 通过计算求得

$$ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {\left| {x - \xi }\right| + \left| {x - \eta }\right| }\right) }\mathrm{d}x = {\mathrm{e}}^{-\left| {\xi - \eta }\right| }\left( {1 + \left| {\xi - \eta }\right| }\right) , $$

因此

$$ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\psi \left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| {f\left( \xi \right) }\right| \left| {f\left( \eta \right) }\right| \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {\left| {x - \xi }\right| + \left| {x - \eta }\right| }\right) }\mathrm{d}x $$

$$ = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| {f\left( \xi \right) }\right| \left| {f\left( \eta \right) }\right| {\mathrm{e}}^{-\left| {\xi - \eta }\right| }\left( {1 + \left| {\xi - \eta }\right| }\right) \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta $$

$$ \leq \frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left( {{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2} + {\left| f\left( \eta \right) \right| }^{2}}\right) $$

$$ \times {\mathrm{e}}^{-\left| {\xi - \eta }\right| }\left( {1 + \left| {\xi - \eta }\right| }\right) \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta $$

$$ = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left( {1 + \left| {\xi - \eta }\right| }\right) {\mathrm{e}}^{-\left| {\xi - \eta }\right| }\mathrm{d}\eta $$

$$ = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left( {1 + \left| u\right| }\right) {\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{\;d}u = 4{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( \xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：利用不等式放缩被积函数
由 |f(ξ)||f(η)| ≤ (|f(ξ)|² + |f(η)|²)/2，代入 ψ(x) 表达式，得到 ψ(x) ≤ 1/2 ∫∫ e^{-|x-ξ|-|x-η|} (|f(ξ)|² + |f(η)|²) dξ dη。
公式：|f(ξ)||f(η)| ≤ (|f(ξ)|² + |f(η)|²)/2
提示：注意不等式方向，将乘积放缩为平方和的一半。
步骤 2/6
目标：分离积分变量
将积分拆分为两项：第一项为 1/2 ∫ |f(ξ)|² e^{-|x-ξ|} dξ ∫ e^{-|x-η|} dη，第二项类似。
公式：ψ(x) ≤ 1/2 ∫ |f(ξ)|² e^{-|x-ξ|} dξ ∫ e^{-|x-η|} dη + 1/2 ∫ |f(η)|² e^{-|x-η|} dη ∫ e^{-|x-ξ|} dξ
提示：利用积分区域为全平面，变量可分离。
步骤 3/6
目标：计算指数积分
计算 ∫_{-∞}^{∞} e^{-|x-ξ|} dξ = ∫_{-∞}^{∞} e^{-|u|} du = 2∫_0^∞ e^{-u} du = 2。
公式：∫_{-∞}^{∞} e^{-|x-ξ|} dξ = 2
提示：作变量代换 u = x-ξ，利用偶函数性质。
步骤 4/6
目标：简化 ψ(x) 估计
代入积分值，得到 ψ(x) ≤ 2 ∫ |f(ξ)|² e^{-|x-ξ|} dξ。
公式：ψ(x) ≤ 2 ∫_{-∞}^{∞} |f(ξ)|² e^{-|x-ξ|} dξ
提示：注意两项合并后系数为 2。
步骤 5/6
目标：对 x 积分并交换次序
对 ψ(x) 积分：∫ ψ(x) dx ≤ 2 ∫∫ |f(ξ)|² e^{-|x-ξ|} dξ dx = 2 ∫ |f(ξ)|² dξ ∫ e^{-|x-ξ|} dx。
公式：∫ ψ(x) dx ≤ 2 ∫ |f(ξ)|² dξ ∫ e^{-|x-ξ|} dx
提示：交换积分次序，先对 x 积分。
步骤 6/6
目标：计算最终积分
∫ e^{-|x-ξ|} dx = 2，代入得 ∫ ψ(x) dx ≤ 4 ∫ |f(ξ)|² dξ。
公式：∫_{-∞}^{∞} ψ(x) dx ≤ 4 ∫_{-∞}^{∞} |f(x)|² dx
提示：完成证明。

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