方企勤 第七章 典型综合题分析 第17题

教材习题

📝 题目

例 17 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可微,且 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq M$ . 求证:

$$ \left| {\frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \frac{f\left( a\right) + f\left( b\right) }{2}}\right| \leq \frac{M\left( {b - a}\right) }{4}\left( {1 - {\theta }^{2}}\right) , $$

其中 $\theta \overset{\text{ 定义 }}{ = }\frac{f\left( b\right) - f\left( a\right) }{M\left( {b - a}\right) }$ .

💡 答案解析

证法 1 根据微分中值定理,

$$ f\left( x\right) \leq \left\{ \begin{array}{ll} f\left( a\right) + M\left( {x - a}\right) & \left( {a \leq x \leq \alpha }\right) , \\ f\left( b\right) + M\left( {b - x}\right) & \left( {\alpha \leq x \leq b}\right) , \end{array}\right. $$

其中 $\alpha = \frac{1}{2}\left( {a + b + \theta \left( {b - a}\right) }\right)$ . 因此,

$$ \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{a}\left\lbrack {f\left( a\right) + M\left( {x - a}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x $$

$$ + \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}\left\lbrack {f\left( b\right) + M\left( {b - x}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x $$

$$ = \frac{a - a}{b - a}f\left( a\right) + \frac{b - a}{b - a}f\left( b\right) $$

$$ + \frac{M}{2\left( {b - a}\right) }\left\lbrack {{\left( \alpha - a\right) }^{2} + {\left( b - \alpha \right) }^{2}}\right\rbrack $$

$$ = \frac{1}{2}\left( {1 + \theta }\right) f\left( a\right) + \frac{1}{2}\left( {1 - \theta }\right) f\left( b\right) $$

$$ + \frac{M\left( {b - a}\right) }{8}\left\lbrack {{\left( 1 + \theta \right) }^{2} + {\left( 1 - \theta \right) }^{2}}\right\rbrack $$

$$ = \frac{1}{2}\left( {f\left( a\right) + f\left( b\right) }\right) + \frac{M\left( {b - a}\right) }{4}\left( {1 - {\theta }^{2}}\right) . $$

(7.29)

同理

$$ f\left( x\right) \geq \left\{ \begin{array}{ll} f\left( a\right) - M\left( {x - a}\right) & \left( {a \leq x \leq \beta }\right) , \\ f\left( b\right) - M\left( {b - x}\right) & \left( {\beta \leq x \leq b}\right) , \end{array}\right. $$

其中 $\beta = \frac{1}{2}\left( {a + b - \theta \left( {b - a}\right) }\right)$ . 因此

$$ \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{\beta }\left\lbrack {f\left( a\right) - M\left( {x - a}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x $$

$$ + \frac{1}{b - a}{\int }_{\beta }^{b}\left\lbrack {f\left( b\right) - M\left( {b - x}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x $$

$$ = \frac{\beta - a}{b - a}f\left( a\right) + \frac{b - \beta }{b - a}f\left( b\right) $$

$$ - \frac{M}{2\left( {b - a}\right) }\left\lbrack {{\left( \beta - a\right) }^{2} + {\left( b - \beta \right) }^{2}}\right\rbrack $$

$$ = \frac{1}{2}\left( {1 - \theta }\right) f\left( a\right) + \frac{1}{2}\left( {1 + \theta }\right) f\left( b\right) $$

$$ - \frac{M\left( {b - a}\right) }{8}\left\lbrack {{\left( 1 - \theta \right) }^{2} + {\left( 1 + \theta \right) }^{2}}\right\rbrack $$

$$ = \frac{1}{2}\left\lbrack {f\left( a\right) + f\left( b\right) }\right\rbrack - \frac{M\left( {b - a}\right) }{4}\left( {1 - {\theta }^{2}}\right) . \tag{7.30} $$

联立 (7.29) 和 (7.30) 式即得结论.

证法 2 对 $\forall \left| \lambda \right| \leq 1$ ,令 $\gamma \frac{\text{ 定义 }a + b}{2} + \frac{\lambda }{2}\left( {b - a}\right)$ . 用分部积分法推得

$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}\left( {x - \gamma }\right) $$

$$ = \left( {b - \gamma }\right) f\left( b\right) + \left( {\gamma - a}\right) f\left( a\right) $$

$$ + {\int }_{a}^{\gamma }{f}^{\prime }\left( x\right) \left( {\gamma - x}\right) \mathrm{d}x - {\int }_{\gamma }^{b}{f}^{\prime }\left( x\right) \left( {x - \gamma }\right) \mathrm{d}x. $$

两边除以(b - a)并根据积分中值定理,容易推出

$$ \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \frac{1}{2}\left\lbrack {f\left( a\right) + f\left( b\right) }\right\rbrack $$

$$ = \frac{1}{2}\lambda \left\lbrack {f\left( a\right) - f\left( b\right) }\right\rbrack + \frac{b - a}{8}\left\lbrack {{\left( 1 + \lambda \right) }^{2}{f}^{\prime }\left( \xi \right) }\right. $$

$$ \left. {-{\left( 1 - \lambda \right) }^{2}{f}^{\prime }\left( \eta \right) }\right\rbrack \text{ . } \tag{7.31} $$

在 (7.31) 式中取 $\lambda = \theta$ ,有

$$ \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \frac{1}{2}\left\lbrack {f\left( a\right) + f\left( b\right) }\right\rbrack $$

$$ \leq - \frac{1}{2}M\left( {b - a}\right) {\theta }^{2} + \frac{M}{8}\left( {b - a}\right) \left\lbrack {{\left( 1 + \theta \right) }^{2} + {\left( 1 - \theta \right) }^{2}}\right\rbrack $$

$$ = \frac{M}{4}\left( {b - a}\right) \left( {1 - {\theta }^{2}}\right) . \tag{7.32} $$

在 (7.31) 式中取 $\lambda = - \theta$ ,有

$$ \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \frac{1}{2}\left\lbrack {f\left( a\right) + f\left( b\right) }\right\rbrack $$

$$ \geq \frac{1}{2}M\left( {b - a}\right) {\theta }^{2} - \frac{M}{8}\left( {b - a}\right) \left\lbrack {{\left( 1 + \theta \right) }^{2} + {\left( 1 - \theta \right) }^{2}}\right\rbrack $$

$$ = - \frac{M}{4}\left( {b - a}\right) \left( {1 - {\theta }^{2}}\right) . \tag{7.33} $$

联立 (7.32) 和 (7.33) 式即得结论.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：利用微分中值定理构造f(x)的上界和下界
根据微分中值定理，对于任意x∈[a,b]，存在ξ∈(a,x)使得f(x)=f(a)+f'(ξ)(x-a)。由于|f'(x)|≤M，可得f(x)≤f(a)+M(x-a)（当x≥a时）。类似地，考虑从x到b，可得f(x)≤f(b)+M(b-x)。为了得到更紧的界，引入参数α=(a+b+θ(b-a))/2，其中θ=(f(b)-f(a))/(M(b-a))。则当a≤x≤α时，用f(a)+M(x-a)作为上界；当α≤x≤b时，用f(b)+M(b-x)作为上界。
公式：f(x) ≤ { f(a)+M(x-a) for a≤x≤α; f(b)+M(b-x) for α≤x≤b }
提示：注意θ的定义满足|θ|≤1，因为|f(b)-f(a)|≤M(b-a)。
步骤 2/4
目标：计算积分上界
将积分区间分为[a,α]和[α,b]，分别用上界函数积分，然后除以(b-a)。计算得到： (1/(b-a))∫_a^b f(x)dx ≤ (α-a)/(b-a) f(a) + (b-α)/(b-a) f(b) + (M/(2(b-a)))[(α-a)^2+(b-α)^2]。 代入α=(a+b+θ(b-a))/2，计算得： (α-a)/(b-a) = (1+θ)/2, (b-α)/(b-a) = (1-θ)/2, (α-a)^2+(b-α)^2 = (b-a)^2(1+θ^2)/2。 最终得到： (1/(b-a))∫_a^b f(x)dx ≤ (f(a)+f(b))/2 + M(b-a)(1-θ^2)/4。
公式：∫_a^b f(x)dx ≤ (α-a)f(a)+(b-α)f(b)+M[(α-a)^2+(b-α)^2]/2
提示：注意计算(α-a)和(b-α)时，利用θ的定义简化。
步骤 3/4
目标：构造f(x)的下界并计算积分下界
类似地，利用f(x)≥f(a)-M(x-a)和f(x)≥f(b)-M(b-x)，并取β=(a+b-θ(b-a))/2。将积分区间分为[a,β]和[β,b]，得到下界： (1/(b-a))∫_a^b f(x)dx ≥ (β-a)/(b-a) f(a) + (b-β)/(b-a) f(b) - (M/(2(b-a)))[(β-a)^2+(b-β)^2]。 代入β，计算得： (β-a)/(b-a) = (1-θ)/2, (b-β)/(b-a) = (1+θ)/2, (β-a)^2+(b-β)^2 = (b-a)^2(1+θ^2)/2。 最终得到： (1/(b-a))∫_a^b f(x)dx ≥ (f(a)+f(b))/2 - M(b-a)(1-θ^2)/4。
公式：f(x) ≥ { f(a)-M(x-a) for a≤x≤β; f(b)-M(b-x) for β≤x≤b }
提示：注意β的表达式与α对称，只是θ前符号相反。
步骤 4/4
目标：联立上下界得到结论
由积分上界和积分下界的不等式，直接得到： |(1/(b-a))∫_a^b f(x)dx - (f(a)+f(b))/2| ≤ M(b-a)(1-θ^2)/4。
公式：|(1/(b-a))∫_a^b f(x)dx - (f(a)+f(b))/2| ≤ M(b-a)(1-θ^2)/4
提示：注意θ^2≤1，所以右边非负。

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