方企勤 第七章 典型综合题分析 第19题

教材习题

📝 题目

例 19 设 $f\left( x\right) \in {C}^{1}\lbrack 0,\infty ),x{f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0,\infty )$ 上有界,并且

$$ \frac{1}{x}{\int }_{x}^{2x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t \rightarrow 0\;\left( {x \rightarrow + \infty }\right) . $$

求证: $f\left( x\right) \rightarrow 0\left( {x \rightarrow + \infty }\right)$ .

💡 答案解析

证 令 $M\overset{\text{ 定义 }}{ \approx }\mathop{\sup }\limits_{{x \geq 0}}\left| {x{f}^{\prime }\left( x\right) }\right|$ ,则有 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq \frac{M}{x}\left( {\forall x > 0}\right)$ . 对 $\forall {x}_{0} > 0$ 及 $x \geq {x}_{0}$ ,由微积分基本定理,

$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| = \left| {{\int }_{{x}_{0}}^{x}{f}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t}\right| \leq {\int }_{{x}_{0}}^{x}\left| {{f}^{\prime }\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t $$

$$ \leq {\int }_{{x}_{0}}^{x}\frac{M}{t}\mathrm{\;d}t \leq \frac{M}{{x}_{0}}\left( {x - {x}_{0}}\right) , $$

即得

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \geq \left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| - \frac{M}{{x}_{0}}\left( {x - {x}_{0}}\right) \;\left( {\forall x \geq {x}_{0} > 0}\right) . $$

(7.34)

我们先证 $\exists X > 0$ ,使得

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| < M\;\left( {\forall x > X}\right) . \tag{7. 35} $$

用反证法. 假定使 (7.35) 式成立的 $X$ 不存在,那么 $\forall n \in \mathbf{N},\exists {x}_{n} >$ $n$ ,使得 $\left| {f\left( {x}_{n}\right) }\right| \geq M$ . 由 (7.34) 式有

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \geq \left| {f\left( {x}_{n}\right) }\right| - \frac{M}{{x}_{n}}\left( {x - {x}_{n}}\right) $$

$$ = \left| {f\left( {x}_{n}\right) }\right| \left\{ {1 - \frac{1}{{T}_{n}}\left( {x - {x}_{n}}\right) }\right\} \;\left( {x \geq {x}_{n}}\right) , $$

其中 ${T}_{n}\frac{\text{ 定义 }{x}_{n}\left| {f\left( {x}_{n}\right) }\right| }{M} \geq {x}_{n}$ ,因此

$$ \frac{1}{{x}_{n}}{\int }_{{x}_{n}}^{2{x}_{n}}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x \geq \frac{1}{{x}_{n}}{\int }_{{x}_{n}}^{2{x}_{n}}\left| {f\left( {x}_{n}\right) }\right| \left\{ {1 - \frac{1}{{x}_{n}}\left( {x - {x}_{n}}\right) }\right\} \mathrm{d}x $$

$$ = \frac{\left| f\left( {x}_{n}\right) \right| }{{x}_{n}} \cdot \frac{1}{2}{x}_{n} = \frac{\left| f\left( {x}_{n}\right) \right| }{2} \geq \frac{M}{2} > 0. $$

这与 ${x}_{n} \rightarrow + \infty \left( {n \rightarrow \infty }\right)$ 时

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{{x}_{n}}{\int }_{{x}_{n}}^{2{x}_{n}}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x = 0 $$

矛盾. 于是使 (7.35) 式成立的 $X$ 的确存在.

现在 $\forall {x}_{0} > X$ ,由 (7.35) 式有 $\left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| < M$ ,从而 $T$ 定义 $\frac{{x}_{0}\left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| }{M} < {x}_{0}$ ,因此,根据 (7.34) 式有

$$ {\int }_{{x}_{0}}^{2{x}_{0}}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x \geq {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{0} + T}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x \geq T\left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| - \frac{M}{{x}_{0}} \cdot \frac{1}{2}{T}^{2} $$

$$ = T\left( {\left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| - \frac{MT}{2{x}_{0}}}\right) = \frac{T}{2}\left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| = \frac{{x}_{0}{\left| f\left( {x}_{0}\right) \right| }^{2}}{2M}, $$

即得

$$ {\left| f\left( {x}_{0}\right) \right| }^{2} \leq \frac{2M}{{x}_{0}}{\int }_{{x}_{0}}^{2{x}_{0}}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x\;\left( {\forall {x}_{0} > X}\right) . $$

改写成

$$ 0 \leq \left| {f\left( x\right) }\right| \leq {\left( \frac{2M}{x}{\int }_{x}^{2x}\left| f\left( t\right) \right| \mathrm{d}t\right) }^{\frac{1}{2}}\;\left( {\forall x > X}\right) . $$

由极限两边夹挤准则即得结论.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：定义M并得到导数上界
令 M = sup_{x≥0} |x f'(x)|，则对任意 x>0，有 |f'(x)| ≤ M/x。
公式：M = sup_{x≥0} |x f'(x)|, |f'(x)| ≤ M/x
提示：利用已知条件 x f'(x) 有界，定义上确界。
步骤 2/5
目标：利用微积分基本定理得到f(x)的下界估计
对任意 x0>0 及 x≥x0，由微积分基本定理，|f(x)-f(x0)| = |∫_{x0}^x f'(t) dt| ≤ ∫_{x0}^x |f'(t)| dt ≤ ∫_{x0}^x M/t dt ≤ (M/x0)(x-x0)，从而 |f(x)| ≥ |f(x0)| - (M/x0)(x-x0)。
公式：|f(x)| ≥ |f(x0)| - (M/x0)(x-x0)
提示：注意积分限从x0到x，且x≥x0。
步骤 3/5
目标：反证法证明存在X使得|f(x)|X成立
假设不存在这样的X，则对任意n∈N，存在xn>n使得|f(xn)|≥M。由下界估计，对x≥xn，有|f(x)| ≥ |f(xn)|(1 - (x-xn)/Tn)，其中Tn = xn|f(xn)|/M ≥ xn。于是 (1/xn)∫_{xn}^{2xn} |f(x)| dx ≥ (|f(xn)|/xn) ∫_{xn}^{2xn} (1 - (x-xn)/xn) dx = |f(xn)|/2 ≥ M/2 > 0，与已知条件矛盾。因此存在X>0使得对x>X有|f(x)|
公式：Tn = xn|f(xn)|/M, (1/xn)∫_{xn}^{2xn} |f(x)| dx ≥ |f(xn)|/2
提示：注意积分区间[xn,2xn]以及被积函数的下界线性递减。
步骤 4/5
目标：利用下界估计得到|f(x0)|^2的上界
对任意x0>X，由|f(x0)|
公式：|f(x0)|^2 ≤ (2M/x0) ∫_{x0}^{2x0} |f(x)| dx
提示：注意T的定义和积分区间选择。
步骤 5/5
目标：由夹逼准则得到结论
改写为 |f(x)| ≤ sqrt((2M/x) ∫_x^{2x} |f(t)| dt) 对 x>X 成立。由已知条件，当 x→∞ 时，右边趋于0，由夹逼准则得 f(x)→0。
公式：|f(x)| ≤ sqrt((2M/x) ∫_x^{2x} |f(t)| dt)
提示：利用极限的夹逼性。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第18题 返回列表 第20题 →