方企勤 第七章 典型综合题分析 第26题

教材习题

📝 题目

例 26 设 $D$ 为 ${\mathbf{R}}^{n}$ 中的有界闭集,映射 $f : D \rightarrow D$ 满足: $\forall x,y \in$ $D,\mathbf{x} \neq \mathbf{y}$ ,有 $\left| {\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) - \mathbf{f}\left( \mathbf{y}\right) }\right| < \left| {\mathbf{x} - \mathbf{y}}\right|$ . 证明: 映射 $\mathbf{f}$ 有惟一的不动点 ${\mathbf{x}}^{ * } \in D$ ,即有惟一点 ${\mathbf{x}}^{ * } \in D$ ,使 $\mathbf{f}\left( {\mathbf{x}}^{ * }\right) = {\mathbf{x}}^{ * }$ .

💡 答案解析

证 $\forall {x}_{1} \in D$ ,令 ${x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ . 显然 ${x}_{n} \in D(n = 1$ , $2,\cdots )$ . 由条件

$$ \left| {{x}_{n + 2} - {x}_{n + 1}}\right| = \left| {f\left( {x}_{n + 1}\right) - f\left( {x}_{n}\right) }\right| < \left| {{x}_{n + 1} - {x}_{n}}\right| \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) , $$

故有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left| {{x}_{n + 1} - {x}_{n}}\right| = a \geq 0. \tag{7.45} $$

因 $D$ 为有界闭集,由波尔察诺定理, $\exists$ 子序列 $\left\{ {\mathbf{x}}_{{n}_{k}}\right\}$ ,使

$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = {x}^{ * } \in D $$

再由条件知 $\mathbf{f}$ 在 $D$ 上连续,所以

$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k} + 1} = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) = f\left( {x}^{ * }\right) \overset{\text{ 记为 }}{ = }\widetilde{x}, \tag{7.46} $$

$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k} + 2} = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{{n}_{k} + 1}\right) = f\left( \widetilde{x}\right) . \tag{7.47} $$

要证不动点存在,只要证 ${\mathbf{x}}^{ * } = \widetilde{\mathbf{x}}$ . 为此,对下式

$$ \left| {{x}_{{n}_{k} + 2} - {x}_{{n}_{k} + 1}}\right| = \left| {f\left( {x}_{{n}_{k} + 1}\right) - f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) }\right| < \left| {{x}_{{n}_{k} + 1} - {x}_{{n}_{k}}}\right| $$

取极限 $\left( {k \rightarrow + \infty }\right)$ ,由 (7.46),(7.47)式,得到

$$ \left| {f\left( \widetilde{x}\right) - f\left( {x}^{ * }\right) }\right| \leq \left| {\widetilde{x} - {x}^{ * }}\right| . $$

再由 (7.45) 式知上式等号成立,即 $\left| {f\left( \widetilde{x}\right) - f\left( {x}^{ * }\right) }\right| = \left| {\widetilde{x} - {x}^{ * }}\right|$ . 根据题设必有 $\widetilde{x} = {x}^{ * }$ ,即 $f\left( {x}^{ * }\right) = {x}^{ * }$ . 不动点惟一性由条件即可看出.

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：构造迭代序列
任取初始点 x1 ∈ D，定义迭代序列 x_{n+1} = f(x_n) (n=1,2,...)。由于 f 将 D 映射到自身，所有 x_n 都在 D 中。
公式：x_{n+1} = f(x_n)
提示：确保初始点属于 D，序列有界。
步骤 2/6
目标：证明相邻项距离递减且极限存在
由条件 |f(x)-f(y)| < |x-y| 得 |x_{n+2}-x_{n+1}| = |f(x_{n+1})-f(x_n)| < |x_{n+1}-x_n|，因此序列 {|x_{n+1}-x_n|} 单调递减且有下界0，故极限 a ≥ 0 存在。
公式：|x_{n+2}-x_{n+1}| < |x_{n+1}-x_n|, lim_{n→∞} |x_{n+1}-x_n| = a
提示：单调有界原理。
步骤 3/6
目标：利用有界闭集和Bolzano定理选取收敛子列
由于 D 是有界闭集，序列 {x_n} 有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 {x_{n_k}} 使得 lim_{k→∞} x_{n_k} = x* ∈ D。
公式：lim_{k→∞} x_{n_k} = x*
提示：有界闭集保证子列收敛于D内点。
步骤 4/6
目标：利用连续性得到子列后续项的极限
由条件知 f 在 D 上连续（因为压缩映射），所以 lim_{k→∞} x_{n_k+1} = lim_{k→∞} f(x_{n_k}) = f(x*) = x̃，以及 lim_{k→∞} x_{n_k+2} = lim_{k→∞} f(x_{n_k+1}) = f(x̃)。
公式：x̃ = f(x*), f(x̃) = lim x_{n_k+2}
提示：连续性由压缩条件推出。
步骤 5/6
目标：证明 x* = x̃，即不动点存在
对不等式 |x_{n_k+2}-x_{n_k+1}| < |x_{n_k+1}-x_{n_k}| 取极限 k→∞，得 |f(x̃)-f(x*)| ≤ |x̃-x*|。但由(7.45)知极限 a 满足 a = |f(x̃)-f(x*)| = |x̃-x*|，故等号成立。根据题设严格不等式，若 x̃ ≠ x* 则矛盾，因此 x̃ = x*，即 f(x*) = x*。
公式：|f(x̃)-f(x*)| = |x̃-x*| ⇒ x̃ = x*
提示：利用极限等式和严格压缩条件。
步骤 6/6
目标：证明不动点唯一
假设存在两个不动点 x* 和 y*，则 |f(x*)-f(y*)| = |x*-y*|，但由条件 |f(x)-f(y)| < |x-y| 对 x≠y 成立，矛盾。故不动点唯一。
公式：|f(x*)-f(y*)| = |x*-y*| 与条件矛盾
提示：直接反证法。

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