方企勤 第七章 典型综合题分析 第27题

教材习题

📝 题目

例 27 设 $D : {x}^{2} + {y}^{2} < 1.f\left( {x,y}\right)$ 为有界正值函数,在 $D$ 上有二阶连续偏导数, 且满足

$\Delta \ln f\left( {x,y}\right) \geq {f}^{2}\left( {x,y}\right) \;\left( {\Delta \text{ 为拉普拉斯算符,即 }\Delta = \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}}\right) .$

💡 答案解析

证明

$$ f\left( {x,y}\right) \leq \frac{2}{1 - {x}^{2} - {y}^{2}}\;\left( {\forall \left( {x,y}\right) \in D}\right) . $$

证 令 $g\left( {x,y}\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\frac{2}{1 - {x}^{2} - {y}^{2}}$ ,则

$$ \Delta \ln g\left( {x,y}\right) = \frac{4}{{\left( 1 - {x}^{2} - {y}^{2}\right) }^{2}} = {g}^{2}\left( {x,y}\right) , $$

所以

$$ \Delta \left( {\ln g\left( {x,y}\right) - \ln f\left( {x,y}\right) }\right) \leq {g}^{2}\left( {x,y}\right) - {f}^{2}\left( {x,y}\right) . \tag{7.48} $$

记函数 $F\left( {x,y}\right) = \ln g\left( {x,y}\right) - \ln f\left( {x,y}\right) = \ln \frac{g\left( {x,y}\right) }{f\left( {x,y}\right) }$ ,由条件可得出

$$ \mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \partial D}}F\left( {x,y}\right) = + \infty . $$

所以函数 $F\left( {x,y}\right)$ 在 $D$ 内某一点达到最小值,设最小值点为 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ ,则

$$ \ln \frac{g\left( {x,y}\right) }{f\left( {x,y}\right) } = F\left( {x,y}\right) \geq F\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \ln \frac{g\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) } $$

$$ \left( {\forall \left( {x,y}\right) \in D}\right) \text{ , } \tag{7.49} $$

且在该点处 $\frac{{\partial }^{2}F\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\partial {x}^{2}} \geq 0,\frac{{\partial }^{2}F\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\partial {y}^{2}} \geq 0$ (否则与 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 是 $F$ 最小值矛盾). 相加即得 $\Delta \left( {\ln g\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) - \ln f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }\right) \geq 0$ . 再由 (7.48) 式得出 ${g}^{2}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) - {f}^{2}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \geq 0$ ,进而可得 $g\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) /f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \geq$ 1. 把结果代入 (7.49) 式得到

$$ \ln \frac{g\left( {x,y}\right) }{f\left( {x,y}\right) } \geq \ln \frac{g\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) } \geq 0\;\left( {\forall \left( {x,y}\right) \in D}\right) , $$

即有

$$ f\left( {x,y}\right) \leq g\left( {x,y}\right) = \frac{2}{1 - {x}^{2} - {y}^{2}}\;\left( {\forall \left( {x,y}\right) \in D}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：引入辅助函数 g(x,y) 并计算其拉普拉斯
令 g(x,y) = 2/(1-x^2-y^2)，计算 Δ ln g = 4/(1-x^2-y^2)^2 = g^2。
公式：Δ ln g = g^2
提示：注意 g 的定义域为 D，且边界趋于无穷大。
步骤 2/6
目标：推导 Δ(ln g - ln f) 的不等式
由条件 Δ ln f ≥ f^2 和 Δ ln g = g^2，相减得 Δ(ln g - ln f) ≤ g^2 - f^2。
公式：Δ(ln g - ln f) ≤ g^2 - f^2
提示：注意不等号方向。
步骤 3/6
目标：定义函数 F 并分析其边界行为
令 F = ln g - ln f = ln(g/f)。由于 f 有界正，g 在边界趋于无穷，故当 (x,y) 趋于边界时 F → +∞。
公式：F = ln(g/f)
提示：边界行为确保 F 在 D 内取到最小值。
步骤 4/6
目标：利用最小值点性质得到二阶偏导条件
设 (x0,y0) 为 F 的最小值点，则在该点处 ∂²F/∂x² ≥ 0，∂²F/∂y² ≥ 0，相加得 ΔF ≥ 0。
公式：ΔF(x0,y0) ≥ 0
提示：最小值点处 Hessian 矩阵半正定。
步骤 5/6
目标：结合不等式得到 g(x0,y0)/f(x0,y0) ≥ 1
由 ΔF ≤ g^2 - f^2 和 ΔF ≥ 0 得 g^2(x0,y0) - f^2(x0,y0) ≥ 0，故 g(x0,y0)/f(x0,y0) ≥ 1。
公式：g(x0,y0)/f(x0,y0) ≥ 1
提示：注意 g 和 f 均为正。
步骤 6/6
目标：利用最小值性质证明原不等式
由 F(x,y) ≥ F(x0,y0) 得 ln(g/f) ≥ ln(g(x0,y0)/f(x0,y0)) ≥ 0，因此 g/f ≥ 1，即 f ≤ g。
公式：f(x,y) ≤ 2/(1-x^2-y^2)
提示：最终结论对所有 (x,y)∈D 成立。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第26题 返回列表 第28题 →