方企勤 第一章 分析基础 第1.1题
📝 题目
1.1.3 求证: 对 $\forall a,b \in \mathbf{R}$ ,有
$$ \max \{ a,b\} = \frac{a + b}{2} + \frac{\left| a - b\right| }{2},\;\min \{ a,b\} = \frac{a + b}{2} - \frac{\left| a - b\right| }{2}; $$
并解释其几何意义.
💡 答案解析
1. 1.1 将 $a$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {a + b + a - b}\right)$ ; 将 $b$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {b + a + b - a}\right)$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：改写a和b的表达式
将a改写为(a+b)/2 + (a-b)/2，将b改写为(a+b)/2 + (b-a)/2。
公式：a = (a+b)/2 + (a-b)/2, b = (a+b)/2 + (b-a)/2
提示：注意(b-a) = -(a-b)。
步骤 2/4
目标：推导max{a,b}的表达式
若a≥b，则max{a,b}=a=(a+b)/2+(a-b)/2，且|a-b|=a-b，所以(a+b)/2+|a-b|/2=(a+b)/2+(a-b)/2=a。若a
公式：max{a,b} = (a+b)/2 + |a-b|/2
提示：分情况讨论，利用绝对值定义。
步骤 3/4
目标：推导min{a,b}的表达式
若a≤b，则min{a,b}=a=(a+b)/2+(a-b)/2，且|a-b|=b-a，所以(a+b)/2-|a-b|/2=(a+b)/2-(b-a)/2=a。若a>b，则min{a,b}=b=(a+b)/2+(b-a)/2，且|a-b|=a-b，所以(a+b)/2-|a-b|/2=(a+b)/2-(a-b)/2=b。因此min{a,b}=(a+b)/2-|a-b|/2。
公式：min{a,b} = (a+b)/2 - |a-b|/2
提示：注意与max的推导对称。
步骤 4/4
目标：解释几何意义
在数轴上，a和b的中点坐标为(a+b)/2，距离的一半为|a-b|/2。max{a,b}表示中点向右移动距离的一半，min{a,b}表示中点向左移动距离的一半。
提示：几何意义：最大值和最小值分别位于中点的两侧，距离为半长。
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