方企勤 第一章 分析基础 第1.1题
📝 题目
1.1.4 设 $f\left( x\right)$ 在集合 $X$ 上有界,求证:
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}f\left( x\right) - \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}f\left( x\right) \;\left( {\forall x,y \in X}\right) . $$
💡 答案解析
1. 1.1 将 $a$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {a + b + a - b}\right)$ ; 将 $b$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {b + a + b - a}\right)$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确上确界与下确界的定义
设 M = sup_{x∈X} f(x), m = inf_{x∈X} f(x)。由定义，对任意 x∈X，有 m ≤ f(x) ≤ M。
公式：m = inf f(x), M = sup f(x)
提示：上确界是最小上界，下确界是最大下界。
步骤 2/3
目标：利用确界性质得到不等式
对任意 x,y∈X，有 f(x) ≤ M 且 f(y) ≥ m，因此 f(x) - f(y) ≤ M - m。同理，f(y) - f(x) ≤ M - m。
公式：f(x) - f(y) ≤ M - m, f(y) - f(x) ≤ M - m
提示：注意不等号方向。
步骤 3/3
目标：取绝对值得到最终结果
由上述两个不等式，可得 |f(x) - f(y)| ≤ M - m，即 |f(x) - f(y)| ≤ sup f(x) - inf f(x)。
公式：|f(x)-f(y)| ≤ sup f - inf f
提示：绝对值不等式：|a| ≤ c 当且仅当 -c ≤ a ≤ c。
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