方企勤 第一章 分析基础 第1.5题
📝 题目
1. 5.10 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上定义, ${x}_{0} \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ . 如果对 $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0$ ,当 $\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta$ 时,有 $f\left( x\right) < f\left( {x}_{0}\right) + \varepsilon$ ,那么称 $f\left( x\right)$ 在点 ${x}_{0}$ 处上半连续. 如果 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的每一点都上半连续,则称 $f\left( x\right)$ 为 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的一个上半连续函数. 求证: $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的上半连续函数一定有上界.
💡 答案解析
1.5.10 用反证法. 假设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上无上界,则 $\exists {x}_{n} \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 使得
$$ f\left( {x}_{n}\right) > n\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \overset{\text{ 波尔察诺定理 }}{ = }\exists \left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\} , $$
及 $c \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 使得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = c}$ . 这样,一方面由 $f\left( x\right)$ 在点 $x = c$ 处上半连续,对 ${\varepsilon }_{0} =$ 1,3 $\delta > 0$ ,使得
$$ f\left( x\right) < f\left( c\right) + 1\;\left( {\forall x \in \left( {c - \delta ,c + \delta }\right) \cap \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }\right) . $$
另一方面, $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = c \Rightarrow \exists K \in N}$ ,使得
$$ \left| {{x}_{{n}_{k}} - c}\right| < \delta \Rightarrow {n}_{k} < f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) < f\left( c\right) + 1\;\left( {\forall k > K}\right) , $$
矛盾.