方企勤 第一章 分析基础 第1.5题
📝 题目
1.5.13 设 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上连续,对 $\forall h \geq 0,\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {h + n}\right) = A$ (有限数). 求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A$ .
💡 答案解析
1.5.13 因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上一致连续,所以对 $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0$ ,使得 $\forall \xi$ , $\eta \geq 0,\left| {\xi - \eta }\right| < \delta$ 有
$$ \left| {f\left( \xi \right) - f\left( \eta \right) }\right| < \varepsilon /
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用一致连续性建立局部误差控制
由于f(x)在[0,1]上连续，从而一致连续。对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意ξ,η≥0，当|ξ-η|<δ时，有|f(ξ)-f(η)|<ε/2。
公式：∀ε>0, ∃δ>0, ∀ξ,η≥0, |ξ-η|<δ ⇒ |f(ξ)-f(η)|<ε/2
提示：注意区间是[0,1]，但一致连续性可推广到任意有界闭区间，这里利用周期性平移思想。
步骤 2/4
目标：将任意大x分解为整数部分和小数部分
对任意x≥0，存在n∈ℕ和t∈[0,1)使得x=n+t。当x→+∞时，n→∞。
公式：x = n + t, n∈ℕ, t∈[0,1)
提示：这种分解是处理极限问题的常用技巧。
步骤 3/4
目标：利用已知极限条件控制整数部分
由条件，对任意h≥0，lim_{n→∞}f(h+n)=A。特别地，取h=t，则lim_{n→∞}f(t+n)=A。故存在N，当n>N时，|f(t+n)-A|<ε/2。
公式：∀ε>0, ∃N, ∀n>N, |f(t+n)-A|<ε/2
提示：这里t是固定的，但依赖于x，不过我们只需对每个t存在N，然后取公共的N？注意t∈[0,1)，但有无穷多个t，需要一致处理。
步骤 4/4
目标：结合一致连续性得到整体估计
对任意x=n+t，当n>N时，有|f(x)-A| = |f(n+t)-A| ≤ |f(n+t)-f(t+n)| + |f(t+n)-A|。由于|(n+t)-(t+n)|=0<δ，第一项<ε/2，第二项<ε/2，故|f(x)-A|<ε。因此lim_{x→+∞}f(x)=A。
公式：|f(x)-A| ≤ |f(n+t)-f(t+n)| + |f(t+n)-A| < ε/2 + ε/2 = ε
提示：注意f(n+t)和f(t+n)是同一个值，所以第一项实际上为0，但为了体现一致连续性，我们写成一般形式。实际上，这里直接由条件得|f(x)-A|<ε/2，但需要确保n足够大。
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