方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.1题
📝 题目
2. 1.5 给定曲线 $y = {x}^{2} + {5x} + 4$ .
(1)求曲线在点(0,4)处的切线；
(2)确定 $b$ 使得直线 $y = {3x} + b$ 为曲线的切线；
(3) 求过(0,3)点的曲线的切线.
💡 答案解析
2.1.5 (1) $y = {5x} + 4$ ; (2) $b = 3$ ; (3) $y = {3x} + 3,y = {7x} + 3$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求曲线在点(0,4)处的切线方程
求导得 y' = 2x + 5，在 x=0 处导数值为 5，即切线斜率为 5。切线过 (0,4)，方程为 y - 4 = 5(x - 0)，即 y = 5x + 4。
公式：y' = 2x + 5
提示：切线斜率等于该点导数值。
步骤 2/3
目标：确定 b 使得直线 y = 3x + b 为曲线的切线
设切点为 (x0, y0)，则切线斜率为 2x0 + 5 = 3，解得 x0 = -1。代入曲线得 y0 = (-1)^2 + 5*(-1) + 4 = 0。切线过 (-1,0) 且斜率为 3，方程为 y = 3(x + 1)，即 y = 3x + 3，所以 b = 3。
公式：2x0 + 5 = 3
提示：利用斜率相等求切点横坐标。
步骤 3/3
目标：求过点(0,3)的曲线的切线方程
设切点为 (x0, y0)，切线斜率为 2x0 + 5。切线过 (0,3)，方程为 y - 3 = (2x0 + 5)(x - 0)。又切点在曲线上：y0 = x0^2 + 5x0 + 4。代入得 x0^2 + 5x0 + 4 - 3 = (2x0 + 5)x0，即 x0^2 + 5x0 + 1 = 2x0^2 + 5x0，整理得 x0^2 = 1，解得 x0 = 1 或 x0 = -1。当 x0=1 时，斜率 7，切线 y = 7x + 3；当 x0=-1 时，斜率 3，切线 y = 3x + 3。
公式：y0 - 3 = (2x0 + 5)x0
提示：注意点(0,3)不一定在曲线上，需设切点。
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