方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.1题
📝 题目
2.1.6 确定常数 $a,b$ 使得函数 $f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {ax} + b, & x > 1, \\ {x}^{2}, & x \leq 1 \end{array}\right.$ 有连续导数.
💡 答案解析
2.1.6 $a = 2,b = - 1$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定函数在分段点处的连续性条件
由于函数具有连续导数，首先函数必须在 x=1 处连续。计算左极限：lim_{x→1^-} f(x) = 1^2 = 1；右极限：lim_{x→1^+} f(x) = a·1 + b = a + b。令两者相等得 a + b = 1。
公式：连续性条件：lim_{x→1^-} f(x) = lim_{x→1^+} f(x) = f(1)
提示：注意分段函数在分段点处连续是导数存在的必要条件。
步骤 2/3
目标：确定函数在分段点处的可导条件
计算左导数：f'_-(1) = lim_{h→0^-} (f(1+h)-f(1))/h = lim_{h→0^-} ((1+h)^2 - 1)/h = lim_{h→0^-} (2h + h^2)/h = 2。右导数：f'_+(1) = lim_{h→0^+} (f(1+h)-f(1))/h = lim_{h→0^+} (a(1+h)+b - 1)/h = lim_{h→0^+} (a + a h + b - 1)/h。由连续性 a+b=1，代入得分子为 a h，故右导数为 a。令左右导数相等得 a = 2。
公式：可导条件：f'_-(1) = f'_+(1)
提示：计算右导数时利用连续性简化分子。
步骤 3/3
目标：求解常数 a 和 b
由 a = 2 代入连续性条件 a + b = 1，得 2 + b = 1，解得 b = -1。
提示：检查导数是否连续：在 x>1 时 f'(x)=a=2，在 x≤1 时 f'(x)=2x，在 x=1 处 f'(1)=2，故导数连续。
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