方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.1题
📝 题目
2. 1.14 求证: 双纽线 ${r}^{2} = {a}^{2}\cos {2\theta }$ 的向径与切线的夹角等于极角的两倍加 $\frac{\pi }{2}$ .
💡 答案解析
我们要证明：对于双纽线 $$r^2 = a^2 \cos 2\theta,$$ 其向径与切线的夹角 $\psi$ 满足 $$\psi = 2\theta + \frac{\pi}{2}.$$
---
**步骤 1：明确向径与切线夹角的公式**
在极坐标下，曲线 $r = r(\theta)$ 上一点处的向径（即从极点到该点的线段）与切线之间的夹角 $\psi$ 满足 $$\tan \psi = \frac{r}{\frac{dr}{d\theta}}.$$ 这个公式的推导：将极坐标转化为参数方程 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，切线方向向量为 $(x'(\theta), y'(\theta))$，而向径方向向量为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，通过向量夹角公式即可得到上述关系。
---
**步骤 2：计算 $\displaystyle \frac{dr}{d\theta}$**
给定 $$r^2 = a^2 \cos 2\theta.$$ 两边对 $\theta$ 求导（注意 $r$ 是 $\theta$ 的函数）： $$2r \frac{dr}{d\theta} = a^2 \cdot (-\sin 2\theta)\cdot 2 = -2a^2 \sin 2\theta.$$ 于是 $$\frac{dr}{d\theta} = -\frac{a^2 \sin 2\theta}{r}.$$
---
**步骤 3：代入夹角公式**
由 $\tan\psi = \dfrac{r}{dr/d\theta}$，得 $$\tan\psi = \frac{r}{-\dfrac{a^2 \sin 2\theta}{r}} = -\frac{r^2}{a^2 \sin 2\theta}.$$ 再用 $r^2 = a^2 \cos 2\theta$ 代入： $$\tan\psi = -\frac{a^2 \cos 2\theta}{a^2 \sin 2\theta} = -\cot 2\theta.$$
---
**步骤 4：化简为所需形式**
由于 $\displaystyle \cot 2\theta = \tan\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)$，所以 $$-\cot 2\theta = -\tan\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) = \tan\left(2\theta - \frac{\pi}{2}\right).$$ 因此 $$\tan\psi = \tan\left(2\theta - \frac{\pi}{2}\right).$$
---
**步骤 5：确定角度关系**
由正切相等不能直接推出角度相等，需考虑 $\psi$ 的取值范围。在极坐标曲线中，通常取 $\psi$ 为向径逆时针转到切线的有向角，范围在 $(-\pi,\pi)$ 内。 对于双纽线，$\theta$ 在定义域内时，$\displaystyle 2\theta - \frac{\pi}{2}$ 与 $\psi$ 相差 $\pi$ 的整数倍。通过选取适当的范围（例如取 $\psi$ 与 $\displaystyle 2\theta - \frac{\pi}{2}$ 相差 $\pi$），可以验证 $$\psi = 2\theta + \frac{\pi}{2}.$$ 实际上，因为 $$\tan\left(2\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\cot 2\theta = \tan\psi,$$ 且当 $\theta$ 连续变化时，$\psi$ 也连续变化，选择适当的常数即可得到该表达式。
因此，向径与切线的夹角为 $$\boxed{\psi = 2\theta + \frac{\pi}{2}}.$$
---
这样就完成了证明。