方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.2题
📝 题目
2. 2.1 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,在(a, b)内除仅有的一个点外都可导. 求证: $\exists {c}_{1},{c}_{2} \in \left( {a,b}\right)$ 及 $\theta \in \left( {0,1}\right)$ ,使得
$$ f\left( b\right) - f\left( a\right) = \left( {b - a}\right) \left\lbrack {\theta {f}^{\prime }\left( {c}_{1}\right) + \left( {1 - \theta }\right) {f}^{\prime }\left( {c}_{2}\right) }\right\rbrack . $$
💡 答案解析
2. 2.1 设函数 $f\left( x\right)$ 在点 $d \in \left( {a,b}\right)$ 处不可导. 分别在(a, d)上和在(d, b)上对 $f\left( x\right)$ 用微分中值定理,并取 $\theta = \frac{d - a}{b - a}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设不可导点为d，并定义θ
设f(x)在(a,b)内除点d外可导，则d是唯一的不可导点。令θ = (d - a)/(b - a)，则0<θ<1。
公式：θ = (d - a)/(b - a)
提示：θ的选取是为了后续合并区间长度。
步骤 2/4
目标：在区间[a,d]上应用拉格朗日中值定理
由于f在[a,d]上连续，在(a,d)内可导，由拉格朗日中值定理，存在c1∈(a,d)使得f(d)-f(a)=f'(c1)(d-a)。
公式：f(d)-f(a)=f'(c1)(d-a)
提示：注意d-a = θ(b-a)。
步骤 3/4
目标：在区间[d,b]上应用拉格朗日中值定理
由于f在[d,b]上连续，在(d,b)内可导，由拉格朗日中值定理，存在c2∈(d,b)使得f(b)-f(d)=f'(c2)(b-d)。
公式：f(b)-f(d)=f'(c2)(b-d)
提示：注意b-d = (1-θ)(b-a)。
步骤 4/4
目标：将两式相加并整理
将两个等式相加：f(b)-f(a)=f'(c1)(d-a)+f'(c2)(b-d)。代入d-a=θ(b-a)，b-d=(1-θ)(b-a)，得f(b)-f(a)=(b-a)[θf'(c1)+(1-θ)f'(c2)]。
公式：f(b)-f(a)=(b-a)[θf'(c1)+(1-θ)f'(c2)]
提示：合并时注意系数对应。
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