方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.2题
📝 题目
2.2.2 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,3}\right\rbrack$ 上连续,且在(0,3)内 $f\left( 0\right) + f\left( 1\right) + f\left( 2\right) = 3$ , $f\left( 3\right) = 1$ . 求证: $\exists \xi \in \left( {0,3}\right)$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( \xi \right) = 0$ .
💡 答案解析
2.2.2 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,2}\right\rbrack$ 上的最大值为 $M$ ,最小值为 $m$ ,注意到
$$ m \leq \frac{f\left( 0\right) + f\left( 1\right) + f\left( 2\right) }{3} \leq M. $$
由介值定理知, $\exists c \in \left\lbrack {0,2}\right\rbrack$ ,使得
$$ f\left( c\right) = \frac{f\left( 0\right) + f\left( 1\right) + f\left( 2\right) }{3} =
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明存在c∈[0,2]使得f(c)=1
设f(x)在[0,2]上的最大值为M，最小值为m。由f(0)+f(1)+f(2)=3，得平均值(f(0)+f(1)+f(2))/3=1。由于m≤(f(0)+f(1)+f(2))/3≤M，由介值定理，存在c∈[0,2]使得f(c)=1。
公式：m ≤ (f(0)+f(1)+f(2))/3 ≤ M
提示：注意平均值介于最小值和最大值之间，这是介值定理的应用条件。
步骤 2/2
目标：应用罗尔定理证明存在ξ∈(0,3)使得f'(ξ)=0
已知f(3)=1，且由第一步得f(c)=1，其中c∈[0,2]。因此f(c)=f(3)=1。由于f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，由罗尔定理，存在ξ∈(c,3)⊂(0,3)使得f'(ξ)=0。
公式：f(c)=f(3)=1 ⇒ ∃ξ∈(c,3): f'(ξ)=0
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续，开区间可导，且端点函数值相等。
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