方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.2题
📝 题目
2. 2.10 设 $f\left( x\right)$ 在 $(0,1\rbrack$ 上可导,且存在有限极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}\sqrt{x}{f}^{\prime }\left( x\right)$ . 求证: $f\left( x\right)$ 在 $(0,1\rbrack$ 上一致连续.
💡 答案解析
2. 2.10 用柯西中值定理和 $\sqrt{x}$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上一致连续.
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明一致连续，即对任意ε>0，存在δ>0，使得当x,y∈(0,1]且|x-y|<δ时，|f(x)-f(y)|<ε。
由于f在(0,1]上可导，且lim_{x→0+} √x f'(x)存在有限，记为A。则存在c>0，使得当0
提示：利用极限存在推出局部有界。
步骤 2/5
目标：将区间(0,1]分为两部分：靠近0的部分和远离0的部分。
取定c>0，使得当0
提示：分开处理，利用不同性质。
步骤 3/5
目标：在(0,c]上，利用柯西中值定理证明一致连续性。
对任意x,y∈(0,c]，不妨设x0，存在δ1>0，使得当|x-y|<δ1时，|√y-√x|<ε/(2M)。从而|f(y)-f(x)|<ε。
公式：|f(y)-f(x)| = 2√ξ |f'(ξ)|·|√y-√x| ≤ 2M|√y-√x|
提示：柯西中值定理将函数差与导数联系起来。
步骤 4/5
目标：在[c,1]上，利用f在闭区间上连续从而一致连续。
f在[c,1]上可导，故连续，从而一致连续。存在δ2>0，使得当x,y∈[c,1]且|x-y|<δ2时，|f(x)-f(y)|<ε。
提示：闭区间上连续函数一致连续。
步骤 5/5
目标：综合两部分，取δ=min(δ1,δ2,c/2)等，确保当x,y∈(0,1]且|x-y|<δ时，无论它们在同一部分还是跨部分，都有|f(x)-f(y)|<ε。
取δ=min(δ1,δ2,c/2)。若x,y∈(0,c]或x,y∈[c,1]，由前面步骤得证。若x∈(0,c]，y∈[c,1]且|x-y|<δ，则x,y均属于(c/2,1]（因为x>c-δ≥c/2），从而可归入[c/2,1]的一致连续性（或直接利用f在[c/2,1]上一致连续）。
提示：跨区间时需确保两点都在一个公共闭区间内。
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