方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.3题
📝 题目
2.3.17 把一圆形铁片剪下中心角为 $\alpha$ 的一块扇形部分,并将其围成一圆锥. 已知圆形铁片的半径为 $R$ ,问 $\alpha$ 多大时,圆锥的容积最大?
💡 答案解析
2.3.17 (1) $V\left( \alpha \right) = \frac{{\alpha }^{2}{R}^{3}}{12\pi }\sqrt{1 - {\left( \frac{\alpha }{2\pi }\right) }^{2}}$ . (2) $\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：建立圆锥体积V与中心角α的函数关系
设圆锥底面半径为r，高为h。扇形弧长等于圆锥底面周长：αR = 2πr，得r = αR/(2π)。圆锥母线长等于R，由勾股定理得h = √(R² - r²) = √(R² - (αR/(2π))²) = R√(1 - (α/(2π))²)。圆锥体积V = (1/3)πr²h = (1/3)π(αR/(2π))² * R√(1 - (α/(2π))²) = (α²R³)/(12π)√(1 - (α/(2π))²)。
公式：r = αR/(2π), h = R√(1 - (α/(2π))²), V = (1/3)πr²h
提示：注意弧长公式和圆锥几何关系。
步骤 2/2
目标：求V(α)的最大值对应的α
令x = α/(2π)，则x∈(0,1)，V = ( (2πx)² R³ )/(12π) √(1-x²) = (4π²x²R³)/(12π)√(1-x²) = (πR³/3) x²√(1-x²)。求V最大值等价于求f(x)=x²√(1-x²)的最大值。令f(x)=x⁴(1-x²)，求导f'(x)=4x³(1-x²)-2x⁵=2x³(2-3x²)=0，得x=√(2/3)（x>0）。故α=2πx=2π√(2/3)= (2√6/3)π。
公式：f(x)=x²√(1-x²), f'(x)=2x³(2-3x²)=0
提示：换元简化求导，注意定义域。
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