方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.1题
📝 题目
3. 1.8 求下列不定积分:
(1) $\displaystyle \int \sin \left( {\ln x}\right) \mathrm{d}x$ ; (2) $\displaystyle \int \cos \left( {\ln x}\right) \mathrm{d}x$ ;
(3) $\displaystyle{\int x{\mathrm{e}}^{x}\cos x\mathrm{\;d}x}$ ; (4) $\displaystyle{\int x{\mathrm{e}}^{x}\sin x\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
3. 1.8 (1) $\frac{x}{2}\left\lbrack {\sin \left( {\ln x}\right) - \cos \left( {\ln x}\right) }\right\rbrack + C$ ;
(2) $\frac{x}{2}\left\lbrack {\sin \left( {\ln x}\right) + \cos \left( {\ln x}\right) }\right\rbrack + C$ ；
(3) $\frac{x{\mathrm{e}}^{x}}{2}\left( {\cos x + \sin x}\right) - \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{x}\sin x + C$ ;
(4) $\frac{x{\mathrm{e}}^{x}}{2}\left( {\sin x - \cos x}\right) + \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{x}\cos x + C$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求 ∫ sin(ln x) dx
令 t = ln x，则 x = e^t，dx = e^t dt，原积分化为 ∫ e^t sin t dt。使用分部积分法：∫ e^t sin t dt = e^t sin t - ∫ e^t cos t dt，再对 ∫ e^t cos t dt 分部积分得 e^t cos t + ∫ e^t sin t dt，代入解得 ∫ e^t sin t dt = (e^t (sin t - cos t))/2 + C，回代 t = ln x 得 (x (sin(ln x) - cos(ln x)))/2 + C。
公式：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意分部积分后出现循环，需移项求解。
步骤 2/4
目标：求 ∫ cos(ln x) dx
类似地，令 t = ln x，则 x = e^t，dx = e^t dt，原积分化为 ∫ e^t cos t dt。分部积分：∫ e^t cos t dt = e^t cos t + ∫ e^t sin t dt，再对 ∫ e^t sin t dt 分部积分得 e^t sin t - ∫ e^t cos t dt，代入解得 ∫ e^t cos t dt = (e^t (sin t + cos t))/2 + C，回代得 (x (sin(ln x) + cos(ln x)))/2 + C。
公式：分部积分公式
提示：与(1)类似，注意符号。
步骤 3/4
目标：求 ∫ x e^x cos x dx
使用分部积分法，令 u = x，dv = e^x cos x dx。先求 ∫ e^x cos x dx = (e^x (cos x + sin x))/2 + C（利用分部积分循环）。则原积分 = x * (e^x (cos x + sin x))/2 - ∫ (e^x (cos x + sin x))/2 dx = (x e^x (cos x + sin x))/2 - (1/2)∫ e^x cos x dx - (1/2)∫ e^x sin x dx。又 ∫ e^x sin x dx = (e^x (sin x - cos x))/2 + C，代入得原积分 = (x e^x (cos x + sin x))/2 - (1/2)*(e^x (cos x + sin x))/2 - (1/2)*(e^x (sin x - cos x))/2 + C = (x e^x (cos x + sin x))/2 - (e^x sin x)/2 + C。
公式：分部积分公式；∫ e^x cos x dx = (e^x (cos x + sin x))/2 + C；∫ e^x sin x dx = (e^x (sin x - cos x))/2 + C
提示：先计算 e^x cos x 和 e^x sin x 的积分作为子结果。
步骤 4/4
目标：求 ∫ x e^x sin x dx
类似(3)，令 u = x，dv = e^x sin x dx。∫ e^x sin x dx = (e^x (sin x - cos x))/2 + C。则原积分 = x * (e^x (sin x - cos x))/2 - ∫ (e^x (sin x - cos x))/2 dx = (x e^x (sin x - cos x))/2 - (1/2)∫ e^x sin x dx + (1/2)∫ e^x cos x dx = (x e^x (sin x - cos x))/2 - (1/2)*(e^x (sin x - cos x))/2 + (1/2)*(e^x (cos x + sin x))/2 + C = (x e^x (sin x - cos x))/2 + (e^x cos x)/2 + C。
公式：分部积分公式；同上
提示：注意符号处理。
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