方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.1题

教材习题

📝 题目

3.1.12 求下列不定积分:

(1) $\displaystyle{\int {\sec }^{3}x\mathrm{\;d}x}$ ; (2) $\displaystyle{\int \frac{{\sin }^{2}x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x}$ ；

(3) $\displaystyle{\int \frac{\sin {2x}}{{\cos }^{4}x + {\sin }^{4}x}\mathrm{\;d}x}$ ； (4) $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{2{\cos }^{2}x + \sin x\cos x + {\sin }^{2}x}}$ .

💡 答案解析

3. 1.10 (1) 由 $\frac{{2x} + 3}{\left( {x - 2}\right) \left( {x + 5}\right) } = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 5}$ 得出

原式 $= \ln \left( {{3x} + {x}^{2} - {10}}\right) + C$ ;

(2) 由 $\frac{1}{8 - {2x} - {x}^{2}} = \frac{1}{6\left( {x + 4}\right) } - \frac{1}{6\left( {x - 2}\right) }$ 得出

$$ \text{ 原式 } = \frac{1}{6}\ln \left( {x + 4}\right) - \frac{1}{6}\ln \left( {x - 2}\right) + C\text{ ; } $$

(3) 由 $\frac{1}{{\left( x + 1\right) }^{2}\left( {x - 1}\right) } = \frac{1}{4\left( {x - 1}\right) } - \frac{1}{4\left( {x + 1}\right) } - \frac{1}{2{\left( x + 1\right) }^{2}}$ 得出

原式 $= \frac{1}{4}\ln \left( {x - 1}\right) - \frac{1}{4}\ln \left( {x + 1}\right) + \frac{1}{{2x} + 2} + C$ ;

(4) 由 $\frac{{2x} - 3}{{x}^{2} + {2x} + 1} = \frac{2}{x + 1} - \frac{5}{{\left( x + 1\right) }^{2}}$ 得出

$$ \text{ 原式 } = 2\ln \left( {x + 1}\right) + \frac{5}{x + 1} + C\text{ ; } $$

(5) 由 $\frac{1}{\left( {x + 1}\right) \left( {{x}^{2} + 1}\right) } = \frac{1}{2\left( {x + 1}\right) } + \frac{1}{{x}^{2} + 1}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x}\right)$ 得出原式 $= \frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}\ln \left( {x + 1}\right) - \frac{1}{4}\ln \left( {{x}^{2} + 1}\right) + C$ ; (6) 由 $\frac{{x}^{4}}{{x}^{4} + 5{x}^{2} + 4} = \frac{1}{3\left( {{x}^{2} + 1}\right) } - \frac{16}{3\left( {{x}^{2} + 4}\right) } + 1$ 得出

原式 $= x + \frac{1}{3}\arctan x - \frac{8}{3}\arctan \frac{1}{2}x + C$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：计算 ∫ sec³x dx
使用分部积分法。令 u = sec x, dv = sec²x dx，则 du = sec x tan x dx, v = tan x。于是 ∫ sec³x dx = sec x tan x - ∫ sec x tan²x dx = sec x tan x - ∫ sec x (sec²x - 1) dx = sec x tan x - ∫ sec³x dx + ∫ sec x dx。移项得 2∫ sec³x dx = sec x tan x + ln|sec x + tan x| + C，所以 ∫ sec³x dx = (1/2)(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C。
公式：∫ sec³x dx = (1/2)(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C
提示：分部积分时注意循环积分，移项求解。
步骤 2/4
目标：计算 ∫ sin²x/(1+cos²x) dx
利用恒等式 sin²x = 1 - cos²x，则原积分 = ∫ (1 - cos²x)/(1+cos²x) dx = ∫ (2/(1+cos²x) - 1) dx = 2∫ dx/(1+cos²x) - x。对于 ∫ dx/(1+cos²x)，分子分母同除以 cos²x 得 ∫ sec²x dx/(sec²x+1) = ∫ d(tan x)/(tan²x+2) = (1/√2) arctan(tan x/√2) + C。因此原积分 = √2 arctan(tan x/√2) - x + C。
公式：∫ sin²x/(1+cos²x) dx = √2 arctan(tan x/√2) - x + C
提示：利用三角恒等式化简，再使用万能代换或凑微分。
步骤 3/4
目标：计算 ∫ sin2x/(cos⁴x+sin⁴x) dx
注意到 sin2x = 2 sin x cos x，分母 cos⁴x+sin⁴x = (cos²x+sin²x)² - 2 sin²x cos²x = 1 - (1/2) sin²2x。令 u = sin2x，则 du = 2 cos2x dx，但这里分子是 sin2x dx，所以直接令 u = cos2x 或使用恒等式。另一种方法：分子分母同除以 cos⁴x 得 ∫ (2 tan x sec²x)/(1+tan⁴x) dx，令 u = tan²x，则 du = 2 tan x sec²x dx，积分变为 ∫ du/(1+u²) = arctan u + C = arctan(tan²x) + C。
公式：∫ sin2x/(cos⁴x+sin⁴x) dx = arctan(tan²x) + C
提示：利用恒等式化简分母，凑微分。
步骤 4/4
目标：计算 ∫ dx/(2cos²x + sin x cos x + sin²x)
分母除以 cos²x 得 ∫ sec²x dx/(2 + tan x + tan²x) = ∫ d(tan x)/(tan²x + tan x + 2)。令 u = tan x，则积分 = ∫ du/(u²+u+2) = ∫ du/[(u+1/2)² + 7/4] = (2/√7) arctan[(2u+1)/√7] + C = (2/√7) arctan[(2tan x+1)/√7] + C。
公式：∫ dx/(2cos²x + sin x cos x + sin²x) = (2/√7) arctan[(2tan x+1)/√7] + C
提示：万能代换或化为关于 tan x 的积分。

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