方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题
📝 题目
3. 3.10 设 $a > 0,f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上连续,并满足
$$ f\left( \frac{{a}^{2}}{x}\right) = f\left( x\right) \;\left( {\forall x > 0}\right) . $$
求证:
(1) $\displaystyle{\int }_{a}^{{a}^{2}}\frac{f\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{1}^{a}\frac{f\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x$ ;
(2) $\displaystyle{\int }_{1}^{a}\frac{f\left( {x}^{2}\right) }{x} = {\int }_{1}^{a}\frac{f\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x$ ；
(3)如果 $g\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上连续,则 $\displaystyle{\int }_{1}^{a}g\left( {{x}^{2} + \frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}}\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} = {\int }_{1}^{a}g\left( {x + \frac{{a}^{2}}{x}}\right) \frac{\mathrm{d}x}{x}$ .
💡 答案解析
3.3.10 (1) 原式左边令 $x = \frac{{a}^{2}}{u}$ ;
(2)原式左边令 $u = {x}^{2}$ ；
(3)对 $f\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }g\left( {x + \frac{{a}^{2}}{x}}\right)$ 用第 (2) 小题结论.