方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题
📝 题目
3. 3.15 设 $S\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}\left| {\cos t}\right| \mathrm{d}t$ .
(1)当 $n$ 为正整数,且 ${n\pi } \leq x < \left( {n + 1}\right) \pi$ 时,证明 ${2n} \leq S\left( x\right) < 2\left( {n + 1}\right)$ ；
(2) 求 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{S\left( x\right) }{x}$ .
💡 答案解析
3.3.15 (1) 因为 $\left| {\cos x}\right|$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数,在每个周期上积分值相等, 所以
$$ {2n} = {\int }_{0}^{nx}\left| {\cos x}\right| \mathrm{d}x \leq S\left( x\right) < {\int }_{0}^{\left( {n + 1}\right) x}\left| {\cos x}\right| \mathrm{d}x = 2\left( {n + 1}\right) . $$
(2)由用第 (1) 小题结论及夹挤准则,得 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{S\left( x\right) }{x} = \frac{2}{\pi }$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明当 nπ ≤ x < (n+1)π 时，2n ≤ S(x) < 2(n+1)
由于 |cos t| 是以 π 为周期的周期函数，在每个周期上的积分相等。计算一个周期上的积分：∫_0^π |cos t| dt = ∫_0^{π/2} cos t dt - ∫_{π/2}^π cos t dt = 1 - (-1) = 2。因此，对于整数 n，有 ∫_0^{nπ} |cos t| dt = 2n。因为 S(x) = ∫_0^x |cos t| dt，且 x 在 [nπ, (n+1)π) 内，所以 S(x) ≥ ∫_0^{nπ} |cos t| dt = 2n，且 S(x) < ∫_0^{(n+1)π} |cos t| dt = 2(n+1)。
公式：∫_0^{π} |cos t| dt = 2
提示：注意周期函数的积分性质，以及绝对值函数的处理。
步骤 2/2
目标：求极限 lim_{x→+∞} S(x)/x
由(1)的结论，当 nπ ≤ x < (n+1)π 时，有 2n ≤ S(x) < 2(n+1)。两边除以 x 得：2n/x ≤ S(x)/x < 2(n+1)/x。由于 x ≥ nπ，有 2n/x ≤ 2n/(nπ) = 2/π；又 x < (n+1)π，所以 2(n+1)/x > 2(n+1)/((n+1)π) = 2/π。但我们需要夹逼准则，实际上考虑：当 x→+∞ 时，n→∞，且 nπ ≤ x < (n+1)π，所以 n/x → 1/π，因此 2n/x → 2/π，2(n+1)/x → 2/π。由夹逼准则得极限为 2/π。
公式：lim_{x→+∞} S(x)/x = 2/π
提示：利用夹逼准则，将 x 限制在区间内，并考虑 n 与 x 的关系。
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