方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题
📝 题目
3.3.16 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上有连续导数,求
$$ \mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{1}{4{a}^{2}}{\int }_{-a}^{a}\left\lbrack {f\left( {t + a}\right) - f\left( {t - a}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}t. $$
💡 答案解析
3.3.16 ${f}^{\prime }\left( 0\right)$ . 由于被积函数也含有参数 $a$ ,先作变量代换使得参数 $a$ 只出现在积分限上, 或先用积分中值定理去掉积分号, 使得原式变成函数求极限.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数中的参数
令 u = t - a，则 t = u + a，dt = du，当 t = -a 时 u = -2a，当 t = a 时 u = 0。原积分变为 ∫_{-2a}^{0} [f(u+2a) - f(u)] du。
公式：∫_{-a}^{a} [f(t+a) - f(t-a)] dt = ∫_{-2a}^{0} [f(u+2a) - f(u)] du
提示：通过变量代换将参数 a 转移到被积函数的自变量上，简化形式。
步骤 2/4
目标：应用积分中值定理
对积分 ∫_{-2a}^{0} [f(u+2a) - f(u)] du，由积分中值定理，存在 ξ ∈ (-2a, 0) 使得 ∫_{-2a}^{0} [f(u+2a) - f(u)] du = 2a [f(ξ+2a) - f(ξ)]。
公式：∫_{-2a}^{0} g(u) du = 2a g(ξ)，其中 ξ ∈ (-2a, 0)
提示：注意积分区间长度为 2a，中值定理要求被积函数连续，这里 f 连续可导，满足条件。
步骤 3/4
目标：代入原极限表达式
原极限 = lim_{a→0+} (1/(4a^2)) * 2a [f(ξ+2a) - f(ξ)] = lim_{a→0+} [f(ξ+2a) - f(ξ)]/(2a)。
公式：原式 = lim_{a→0+} [f(ξ+2a) - f(ξ)]/(2a)
提示：化简后得到差商形式，注意 ξ 依赖于 a 且 ξ ∈ (-2a, 0)，当 a→0+ 时 ξ→0。
步骤 4/4
目标：利用导数定义求极限
由于 f 有连续导数，lim_{a→0+} [f(ξ+2a) - f(ξ)]/(2a) = f'(0)。因为当 a→0+ 时，ξ→0，且 2a→0，差商趋于 f'(0)。
公式：lim_{a→0+} [f(ξ+2a) - f(ξ)]/(2a) = f'(0)
提示：严格证明需用拉格朗日中值定理：存在 η 介于 ξ 与 ξ+2a 之间，使得差商 = f'(η)，当 a→0+ 时 η→0，由连续性得 f'(η)→f'(0)。
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