方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.4题
📝 题目
3.4.8 已知抛物线 $y = - a{x}^{2} + b\left( {a > 0,b > 0}\right)$ . 求 $a$ 和 $b$ 的值,使满足下面两个条件:
(1)抛物线与 $x$ 轴围成的曲边梯形包含正方形
$$ \{ \left( {x,y}\right) \mid - 1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\} ; $$
(2)抛物线与 $x$ 轴围成的曲边梯形面积最小.
💡 答案解析
3.4.8 $y = - {x}^{2} + 3$ . 3.4.9 $p = \frac{10}{3},a = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定抛物线方程与正方形的关系
抛物线 y = -a x^2 + b 与 x 轴交于两点，由对称性，设交点为 (-√(b/a), 0) 和 (√(b/a), 0)。正方形区域为 -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2。要使抛物线包含该正方形，需满足：在 x ∈ [-1,1] 上，抛物线 y ≥ 2（因为正方形上边界 y=2），且抛物线顶点 (0,b) 应 ≥ 2，即 b ≥ 2。同时，抛物线与 x 轴的交点横坐标应 ≥ 1，即 √(b/a) ≥ 1，得 b/a ≥ 1。
公式：y = -a x^2 + b, 顶点 (0,b), 与 x 轴交点 (±√(b/a), 0)
提示：注意抛物线开口向下，包含正方形意味着正方形完全在抛物线下方。
步骤 2/5
目标：建立面积表达式
抛物线与 x 轴围成的曲边梯形面积为 S = ∫_{-√(b/a)}^{√(b/a)} (-a x^2 + b) dx = 2∫_0^{√(b/a)} (-a x^2 + b) dx = 2[ -a x^3/3 + b x ]_0^{√(b/a)} = 2( -a (b/a)^{3/2}/3 + b √(b/a) ) = 2( -b^{3/2}/(3√a) + b^{3/2}/√a ) = (4/3) b^{3/2}/√a。
公式：S = (4/3) b^{3/2} / √a
提示：利用对称性简化积分。
步骤 3/5
目标：确定约束条件
由包含正方形条件：在 x=±1 处，抛物线 y ≥ 2，即 -a*1^2 + b ≥ 2 ⇒ b - a ≥ 2。另外，抛物线与 x 轴交点横坐标 ≥ 1，即 √(b/a) ≥ 1 ⇒ b ≥ a。综合得 b ≥ a+2 且 b ≥ a。由于 a>0,b>0，取 b ≥ a+2。另外，顶点 (0,b) 应 ≥ 2，即 b ≥ 2，但 b ≥ a+2 已隐含 b ≥ 2。
公式：b - a ≥ 2, b ≥ a
提示：注意正方形边界 x=±1 处 y=2 是下界，抛物线必须在此处至少为 2。
步骤 4/5
目标：在约束下最小化面积
面积 S = (4/3) b^{3/2} / √a。在约束 b - a = 2 下（因为面积随 b 增大而增大，随 a 增大而减小，故取等号时面积最小），代入 a = b - 2，得 S(b) = (4/3) b^{3/2} / √(b-2)。求导找极小值点。令 S'(b)=0，解得 b=3，则 a=1。
公式：S(b) = (4/3) b^{3/2} / √(b-2), 求导得 b=3
提示：利用拉格朗日乘数法或直接代入求导。
步骤 5/5
目标：验证结果
当 a=1, b=3 时，抛物线为 y = -x^2 + 3。检查条件：在 x=±1 处，y=2，满足包含正方形；与 x 轴交点 x=±√3 ≈ ±1.732，大于1，满足。面积 S = (4/3)*3^{3/2}/1 = 4√3 ≈ 6.928。
提示：验证是否满足所有条件。
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